Nierówność między różnymi potęgami wartości oczekiwanych

[acmilan]

Czy prawdą jest, że jeżeli \(\displaystyle{ p \le q}\), to \(\displaystyle{ (EX^{p})^{\frac{1}{p}} \le (EX^{q})^{\frac{1}{q}}}\) ?

Pilne! Z góry dzięki!

[Lorek]

Rozkład dowolny? No to weźmy rozkład normalny standardowy, wtedy
\(\displaystyle{ \mathrm{E}\big( X^{2n+1}\big)=0,\; \mathrm{E} \big(X^{2n}\big)>0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN}\)
i już widać, że nie może to być prawda.

[acmilan]

Ok, a jak obłoży się modułami?
Czyli \(\displaystyle{ (E|X|^{p})^{\frac{1}{p}} \le (E|X|^{q})^{\frac{1}{q}}}\)

Teraz jest to prawda?
Tak, dla dowolnego rozkładu.

[norwimaj]

Nierówność Jensena dla funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto t^{q/p}}\).