Rozkład zmiennych i funkcje charakterystyczne

[Kanodelo]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczny z parametrem \(\displaystyle{ \Lambda=1}\) a \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Gamma z parametrami \(\displaystyle{ p=2,b=1}\).Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z+\frac{1}{3}X+Y}\).
Wyznaczyłem to z własności funkcji charakterystycznych i wyszło mi \(\displaystyle{ \varphi_Z(t)= \frac{3}{\left( 1-\frac{1}{3}it\right)^2 }}\)
Jak by tam było \(\displaystyle{ \varphi_Z(t)= \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{3}it\right)^2 }}\)
to by wyszedł rozkład Gamma z parametrami \(\displaystyle{ p=2,b=3}\), ale jest to 3 w liczniku, czy ono coś zmienia w tym wypadku>-- 7 lip 2012, o 10:55 --Może pokarze jak to liczyłem, nie widze u siebie błedu i może ktoś znajdzie
\(\displaystyle{ f(x)=e^{-x} \qquad \varphi_X(t)= \frac{1}{1-it} \\ f(y)=3e^{-3x} \qquad \varphi_Y(t)=\frac{3}{3-it} \\ \varphi_Z(t)=\varphi_{ \frac{1}{3}X+Y}(t)=\varphi _{\frac{1}{3}X} (t)\varphi_Y(t)=\varphi _{X} \left( \frac{1}{3}t \right)\varphi_Y(t)= \frac{1}{1- \frac{1}{3}it } \cdot \frac{3}{3-it}=\frac{1}{1- \frac{1}{3}it } \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}it} \cdot 3=3 \cdot \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{3}it\right)^2 }}\)

a \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{3}it\right)^2 }}\) to jest f.charakterystyczna rozkładu Gamma z parametrem \(\displaystyle{ p=2,b=3}\)

[Lorek]

A skąd taka gęstość i f. char. \(\displaystyle{ Y}\)?

[Kanodelo]

Źle przepisałem zadanie...\(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład gamma z parametrami \(\displaystyle{ p=1,b=3}\)

[Lorek]

Hm trochę dziwny przykład, bo dla \(\displaystyle{ p=1}\) rozkład gamma sprowadza się do rozkładu wykładniczego, ale niech będzie
\(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{3}it } \cdot \frac{3}{3-it}=\frac{1}{1- \frac{1}{3}it } \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}it} \cdot 3}\)
tu jest błąd.