Wyraź przez funkcje charakterystyczne

[Kanodelo]

Wyraź liczbe \(\displaystyle{ Var(\sin x)+Var(\cos x)}\)za pomocą \(\displaystyle{ \varphi(1)}\), jeżeli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest f.charakterystyczną zmiennej losowej X.
Czy ktoś ma jakiś pomysł, bo ja myślałem żeby znaleść \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ E(X^2)}\) korzystając z tego że \(\displaystyle{ \varphi_X^{(k)}(0)=i^kE(x^k)}\) ale chyba sie nie da bo ten sinus tu przeszkadza.

[Zordon]

Spójrz na definicję funkcji charakterystycznej. \(\displaystyle{ e^{ix}=?}\)

[Kanodelo]

\(\displaystyle{ \varphi(1)=e^{ix}=E(\cos x)+iE(\sin x)}\)

mam wyznaczyć \(\displaystyle{ E(\cos^2 x)+E(\sin^2 x)-E(\sin x)-E(\cos x)=E(1)-E(\sin x+\cos x)}\)
i znam \(\displaystyle{ E(i \sin x+\cos x)}\)... jak się teraz pozbyć tego \(\displaystyle{ i}\)?

[norwimaj]

Korzystając z liniowości \(\displaystyle{ E}\) mamy
\(\displaystyle{ E(i \sin x+\cos x)=\ldots}\)

[Kanodelo]

No mamy \(\displaystyle{ iE(\sin x)+E(\cos x)}\) ale przecież to nic nie daje.

[norwimaj]

A właściwie to już to wcześniej napisałeś:

\(\displaystyle{ \varphi(1)=Ee^{ix}=E(\cos x)+iE(\sin x)}\).

Teraz porównaj części rzeczywiste obu stron równania i części urojone.

[Kanodelo]

W zadaniu jest \(\displaystyle{ \varphi(1)}\). Poza tym tu nie ma nigdzie równania, poprostu wiedząc że \(\displaystyle{ E(\cos x)+iE(\sin x)=\varphi(1)}\) musze znaleść \(\displaystyle{ E(\sin x)+E(\cos x)}\), jak wyznaczę \(\displaystyle{ E(\cos x)= \frac{\varphi(1)}{iE(\sin x)}}\) to wynik będzie zależny też od \(\displaystyle{ E(\sin x)}\), a nie tylko od \(\displaystyle{ \varphi(1)}\)

[norwimaj]

W zadaniu jest \(\displaystyle{ \varphi(1)}\).

Pomyliłem się wcześniej. Jest dobrze z \(\displaystyle{ \varphi(1)}\).

\(\displaystyle{ \varphi(1)=E(\cos x)+iE(\sin x)}\)

\(\displaystyle{ Re(\varphi(1))=Re(E(\cos x)+iE(\sin x))}\)

Zmienna \(\displaystyle{ X}\) w zadaniu jest rzeczywista, prawda?

[Kanodelo]

Już chyba wiem...
\(\displaystyle{ Re\left( \varphi(1)\right)=E(\cos x) \\ Im\left( \varphi(1)\right)=E(\sin x x)}\)

Zatem \(\displaystyle{ Var(\sin x)+Var(\cos x)=E(\sin^2 x+\cos^2 x)-E(\sin x)-E(\cos x)=E(1)-Re\left( \varphi(1)\right)-Im\left( \varphi(1)\right)}\)
Tylko nie wiem czy można to w takiej postaci zostawić, bo w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 1-\left| \varphi(1)\right|^2}\)

[norwimaj]

Bo zamiast \(\displaystyle{ E(\sin x)}\) powinieneś mieć \(\displaystyle{ (E(\sin x))^2}\) i tak samo z kosinusem. Wtedy wyjdzie tak jak w odpowiedziach.

[Kanodelo]

No rzeczywiście nie zauważyłem, ja już chyba się nie nadaje dzisiaj do niczego.. Dzięki wielkie za pomoc i cierpliwość