Pudełka i skarb

[calusnik]

Powiedzmy, że mamy taką sytuację. Są 4 pudełka, musimy wybrać to, w którym znajduje się skarb. Mamy dwie próby i po pierwszej próbie, jeśli nie trafimy, niewłaściwe pudełko zostaje odłożone na bok.
Za pierwszym razem szansa trafienia skarbu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), za drugim \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Zatem jaka ogólnie jest szansa na trafienie skarbu?

[justynian]

podpowiedź: prawdopodobieństwo całkowite się kłania.

[calusnik]

A co będzie moim zdarzeniem A, a co zdarzeniami B1 i B2? Podejrzewam, że A to będzie trafienie skarbu, a B1 to trafienie go za pierwszym razem, a B2 za drugim. No, ale jak rozpisać P(A|B1) ? Ogólnie jest ono równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), ale ile będzie równe samo A i B1?
Nie wiem też jak rozpisać P(A|B2).

Ogólnie to prosiłbym o pokazanie mi właściwego sposobu myślenia, a nie prowadzenie za rękę podpowiedziami. Nie potrzebuje od was wzoru rozwiązania tylko pokazanie jak się za to zabrać, bez tworzenia z tego wielopostowej dyskusji.

[piotr5]

Prawdopodobieństwo wybrania właściwego pudełka za pierwszym razem wynosi \(\displaystyle{ \frac 1 4}\). A zatem prawdopodobieństwo, że wybieramy drugi raz wynosi \(\displaystyle{ \frac 3 4}\) - wtedy mamy \(\displaystyle{ \frac 1 3}\) właściwego wyboru. Otrzymujemy zatem, że prawdopobieństwo całkowite wynosi \(\displaystyle{ \frac 1 4 + \frac 3 4 \cdot \frac 1 3 = \frac 1 2}\).

[norwimaj]

a B1 to trafienie go za pierwszym razem, a B2 za drugim.

Lepiej będzie \(\displaystyle{ B_1}\) - trafienie za pierwszym razem, \(\displaystyle{ B_2}\) - nietrafienie za pierwszym razem. Wtedy \(\displaystyle{ B_1\cup B_2=\Omega}\).

[piotr5]

Możemy tez to zrobić inaczej: jeśli trafimy skarb za pierwszym razem, możemy wybierać drugi raz i zawsze wybierzemy puste, więc prawdopodobieństwo się nie zmieni. Zatem zamiast wybierać raz, a potem drugi raz, możemy wybrać od razu dwa pudełka - prawdopodobieństwo, że w tych pudełkach będzie skarb wynosi \(\displaystyle{ \frac 2 4 = \frac 1 2}\).

[calusnik]

Dzięki.
A jak to opisać w pierwszym przypadku, dla B1? P(B1) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), ale co powiedzieć o A? Chodzi mi tylko o to jak opisać rozwiązanie, żeby przystawało do twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

[piotr5]

Najlepiej tak jak napisał norwimaj:
\(\displaystyle{ A}\) - trafienie skarbu, \(\displaystyle{ B_1}\) - trafienie za pierwszym razem, \(\displaystyle{ B_2}\) - nietrafienie za pierwszym razem. Wtedy \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2 = \Omega}\) oraz \(\displaystyle{ B_1 \cap B_2 = \emptyset}\) i możemy korzystać z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(A|B_1) = 1}\), \(\displaystyle{ P(A|B_2) = \frac 1 3}\), \(\displaystyle{ P(B_1) = \frac 1 4}\) oraz \(\displaystyle{ P(B_2) = \frac 3 4}\), zatem:
\(\displaystyle{ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) = 1 \cdot \frac 1 4 + \frac 1 3 \cdot \frac 3 4 = \frac 1 2}\)

[norwimaj]

Najlepiej tak jak napisał norwimaj

Moim zdaniem bardziej eleganckie jest to co napisałeś niżej (o 22:30). Tylko że nie zawsze takie nieschematyczne rozwiązania się podobają sprawdzającym.

[calusnik]

Niepotrzebnie zadałem pytanie. Coś mi się pomyliło we wzorze, a odpowiedź na pytanie była oczywista. Ale dzięki za wysiłek.