Znaleźć warunkową wartość oczekiwaną.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie i skończonej wartości oczekiwanej. Znaleźć \(\displaystyle{ E(X|X+Y)}\) i \(\displaystyle{ E(X|X^2+Y^2)}\).

Dziękuję za pomoc.

[norwimaj]

1. Skoro zmienne mają ten sam rozkład, to \(\displaystyle{ E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)}\).

[tometomek91]

A jak to można udowodnić?

Znam jedynie definicję warunkowej wartości oczekiwanej. Najpierw jeszcze wygodne oznaczenie: \(\displaystyle{ E(X|Y)=E(X| \sigma(Y) )}\).
Definicja: Niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) sigma-ciało. Warunkową wartością oczekiwaną pod warunkiem sigma-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) nazywamy zmienną losową \(\displaystyle{ E(X| \mathcal{F} )}\) spełniającą warunki:
\(\displaystyle{ E(X| \mathcal{F} )}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalna i dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\) jest \(\displaystyle{ \int_A X dP=\int_A E(X| \mathcal{F} ) dP}\).

Nie wiem w ogóle co ma z tym wspólnego rozkład, proszę o łopatologiczne wytłumaczenie.

[norwimaj]

Sam tych tematów dobrze nie rozumiem, więc nie obiecuję, że to co piszę jest poprawne.

Skoro \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają ten sam rozkład, to \(\displaystyle{ \int_A Y dP=\int_A X dP=\int_A E(X| \mathcal{F} ) dP}\), więc \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{F})}\) spełnia definicję warunkowej wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ E(Y|\mathcal{F})}\).

[tometomek91]

A czy można podać przykład dwóch różnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie?

[norwimaj]

Oczywiście.

\(\displaystyle{ \Omega=\{0,1\},}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(0)=\mathbb{P}(1)=\frac12,}\)

\(\displaystyle{ X(\omega)=\omega,}\)
\(\displaystyle{ Y(\omega)=1-\omega.}\)-- 30 cze 2012, o 17:54 --Albo żeby było tak jak w zadaniu (zmienne niezależne), to rozpatrzmy dwukrotny rzut monetą. \(\displaystyle{ X}\) to liczba orłów w pierwszym rzucie (\(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\)), a \(\displaystyle{ Y}\) - w drugim.

\(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało generowane przez \(\displaystyle{ X+Y}\) to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało generowane przez zbiory \(\displaystyle{ A_1=\{RR\}, A_2=\{RO,OR\}, A_3=\{OO\}}\).

Mamy \(\displaystyle{ \int_{A_1} X dP=0\cdot P(RR)=0}\), więc \(\displaystyle{ E(X|X+Y)(RR)=0}\).

\(\displaystyle{ \int_{A_2} X dP = 0\cdot P(RO)+1\cdot P(OR)=\frac14}\), więc \(\displaystyle{ E(X|X+Y)(RO)\cdot P(RO)+E(X|X+Y)(OR)\cdot P(OR)=\frac14}\), a ponieważ \(\displaystyle{ E(X|X+Y)}\) ma być \(\displaystyle{ X+Y}\)-mierzalna, to \(\displaystyle{ E(X|X+Y)(RO)=E(X|X+Y)(OR)=\frac{\frac14}{P(RO)+P(OR)}=\frac12}\). Wartość zmiennej losowej \(\displaystyle{ E(X|X+Y)}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A_2}\) to średnia wartość zmiennej \(\displaystyle{ X}\) na tym zbiorze.


Ale teraz widzę, że chyba zbyt pochopnie coś napisałem.

Skoro \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają ten sam rozkład, to \(\displaystyle{ \int_A Y dP=\int_A X dP=\int_A E(X| \mathcal{F} ) dP}\),

Źle zrozumiałem, jaki to ma być ten zbiór \(\displaystyle{ A}\) i to co napisałem, nie jest prawdą. W uzasadnieniu równości \(\displaystyle{ E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)}\) trzeba jednak skorzystać z tego, że po prawej stronie mamy zmienną \(\displaystyle{ X+Y}\) a nie dowolną.