Znajdowanie gęstości wektora

[Krzys666]

Witam, mam drobny problem z zadaniem, w którym mam znaleźć gęstość wektora, oto jego treść:

Zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i mają jednakowe rozkłady wykładnicze z parametrem \(\displaystyle{ 1}\). Niech \(\displaystyle{ U = X + Y}\), \(\displaystyle{ V = X - Y}\). Znajdź gęstość wektora \(\displaystyle{ (U, V)}\). Czy \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) są niezależne?

Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) muszą być niezależne (bo są funkcjami zmiennych niezależnych). Ponadto wiem, że prawdziwa jest w związku z powyższym zależność:

\(\displaystyle{ f(u, v) = f(u)f(v)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(a)}\) oznacza gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ A}\).

Nie wiem jednak, co robić dalej, podejrzewam, że istnieje jeszcze jakaś zależność, o której albo nie pamiętam, albo też jej nie znam. Uprzejmie proszę o udzielenie mi wskazówek dotyczących rozwiązania. Pozdrawiam.

[tometomek91]

Policz sobie gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\) jako splot \(\displaystyle{ (f_1 * f_2)(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_1(x)=f_2(x)=e^{-x} I_{(0, \infty)}(x)}\) to gęstości \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), oraz gęstość \(\displaystyle{ X-Y}\) jako splot \(\displaystyle{ (f_1*f_3)(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ f_3(x)=e^xI_{(-\infty,0)}(x)}\) jest gęstością zmiennej \(\displaystyle{ -Y}\). Następnie skorzystaj z tego faktu który przytoczyłeś

[norwimaj]

Jak dla mnie to

\(\displaystyle{ f(u,v)=e^{-\frac{u+v}2}\cdot\chi_{(0,\infty)}\left(\frac{u+v}2\right)\cdot e^{-\frac{u-v}2}\cdot\chi_{(0,\infty)}\left(\frac{u-v}2\right)\cdot\frac12=\frac12e^{-u}\;\chi_{(|v|,\infty)}(u).}\)

A czy \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) są niezależne, to już chyba widać.