nierówność z wartością oczekiwaną

[xtremalny]

Witam, mam następujące pytanie: czy jeśli mamy funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) takie, że \(\displaystyle{ f<g}\), to wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{E}(f) < \mathbb{E}(g)}\)? Prosiłbym o uzasadnienie. Z góry dziękuję.

[silvaran]

Wartość oczekiwana funkcji \(\displaystyle{ f}\)? Słyszałem o wartości oczekiwanej zmiennej losowej, która ma gęstość \(\displaystyle{ f}\), czy o to Ci chodzi? Jeśli tak to porównaj wartości oczekiwane z definicji, zapisując je jako całki.

[xtremalny]

tak, tak chodzilo mi o wartość oczekiwaną zmiennych, które mają gęstosci f i g. Czyli mam rozumieć, ze powyższa nierówność dla całek zachodzi?

[silvaran]

Musisz to jakoś pokazać Jeśli \(\displaystyle{ X \sim f, \ Y \sim g}\)
Rozważ:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y-\mathbb{E}X}\)

[Lorek]

Hmm \(\displaystyle{ \mathbb{E}\big(g(x)\big)=\int_{-\infty}^\infty g(x) \mbox{d}F(x)}\) przy rozkładzie z dystrybuantą \(\displaystyle{ F}\) (jakby to kogoś ciekawiło). Swoją drogą ciekawe, czy istnieją takie funkcje \(\displaystyle{ f,g}\), że \(\displaystyle{ f(x)<g(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) i obie są gęstościami pewnych rozkładów... (ciągłe na pewno nie).

[norwimaj]

Moim zdaniem chodzi o to, że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są jakimiś zmiennymi losowymi.

Lorek, wydaje mi się, że takie gęstości nie mogą istnieć. Jeśli \(\displaystyle{ f(x)<g(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), to istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\), że \(\displaystyle{ g(x)-f(x)>\varepsilon}\) na zbiorze dodatniej miary.

[Lorek]

No wydawać to też mi się tak wydawało, tylko "wydawanie" to trochę słaby dowód