Warunkowa wartość oczekiwana - sprawdzenie prostego zadania.

[tometomek91]

Rzucamy \(\displaystyle{ 10}\) razy symetryczną monetą. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza łączną liczbę orłów, zaś \(\displaystyle{ Y}\) liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Znaleźć \(\displaystyle{ E(X|Y)}\).

Wyszło mi
\(\displaystyle{ E(X|Y)= \frac{7 \cdot (k +3)}{ {4 \choose k} \cdot 2^6}}\) jeśli wypadło \(\displaystyle{ k}\) orłów w pierwszych czterech rzutach \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4}\).
Natomiast w odpowiedzi jest wynik \(\displaystyle{ E(X|Y)= Y+3}\) - co to oznacza? Rozumiem, że \(\displaystyle{ E(X|Y)=E(X| \sigma(Y))}\), gdzie \(\displaystyle{ \sigma(Y)= \sigma ( A_0, A_1,...,A_4)}\) i \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza zdarzenie, że wypadło \(\displaystyle{ k}\) orłów w pierwszych czterech rzutach. Czy dobrze to rozumiem?

[Qń]

Wyszło mi
\(\displaystyle{ E(X|Y)= \frac{7 \cdot (k +3)}{ {4 \choose k} \cdot 2^6}}\) jeśli wypadło \(\displaystyle{ k}\) orłów w pierwszych czterech rzutach \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4}\).

W jaki sposób to policzyłeś? Przecież zdroworozsądkowo:
\(\displaystyle{ E(X|Y=k)= k+3}\)
bo jeśli już wiemy, że w pierwszych czterech rzutach orzeł wypadł \(\displaystyle{ k}\) razy, to trzeba jeszcze policzyć średnią ilość orłów w sześciu ostatnich rzutach, a ta oczywiście jest równa trzy.

Q.

[brzoskwinka1]

Chyba masz błąd w rachunkach bo:
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X|Y=0 ) = \frac{1}{2^6 }\cdot\sum_{k=0}^{6} k\cdot {6 \choose k} =3 =0+3 =Y+3}\)

[tometomek91]

No faktycznie. Dziękuję Wam za pomoc.
A liczyłem to w ten sposób:
Niech \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza zdarzenie, że w pierwszych czterech rzutach wypadło \(\displaystyle{ k}\) orłów \(\displaystyle{ (k=0,1,2,3,4)}\). Wtedy \(\displaystyle{ P(A_k)= {4 \choose k} \frac{1}{2^4}}\). Mamy \(\displaystyle{ \sigma(Y)=\sigma ( A_0, A_1,...,A_4)}\) więc wystarczy policzyć
\(\displaystyle{ E(X|A_k)= \frac{1}{P(A_k)} \int_{A_k} X dP= \frac{1}{{4 \choose k} \frac{1}{2^4}} \left(k \cdot {6 \choose 0} \cdot \frac{1}{2^{10}}+ (k+1) \cdot {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{2^{10}}+...+(k+6) \cdot {6 \choose 6} \cdot \frac{1}{2^{10}} \right)=\frac{1}{ {4 \choose k}}(k+3)}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=E(X| \sigma(Y))(\omega)= \sum_{k=0}^{4} E(X|A_k) \cdot I_{A_k} (\omega)}\)
gdzie jest błąd?

[norwimaj]

Czy \(\displaystyle{ k \cdot {6 \choose 0} \cdot \frac{1}{2^{10}}}\) to ma być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\{X=k\}\cap A_k\}}\)?


Zadanie najprościej robi się tak, jak napisał Qń:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}(X-Y|Y)+\mathbb{E}(Y|Y)=\mathbb{E}(X-Y)+Y}\).

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\{X=k\}\cap A_i\}=(k+i) \cdot {6 \choose i} \cdot \frac{1}{2^{10}}}\)
dobrze?

[norwimaj]

Czy \(\displaystyle{ k \cdot {6 \choose 0} \cdot \frac{1}{2^{10}}}\) to ma być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\{X=k\}\cap A_k\}}\)?

Pomyliłem się zadając to pytanie. Powinienem zapytać, czy \(\displaystyle{ {6 \choose 0} \cdot \frac{1}{2^{10}}}\) to ma być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\{X=k\}\cap A_k)}\).


Można jakoś tak:

\(\displaystyle{ (k+i)\cdot\mathbb{P}(\{X=k+i\}\cap A_k)=\frac{\binom4k\cdot\binom6i}{2^{10}},}\)

bo spośród pierwszych czterech miejsc wybieramy \(\displaystyle{ k}\) miejsc dla orłów a spośród następnych sześciu miejsc wybieramy \(\displaystyle{ i}\). Wtedy po podstawieniu do Twoich wcześniejszych rachunków skróci się \(\displaystyle{ \binom4k}\).

[tometomek91]

Tak, wtedy ładnie wychodzi wszystko, dzięki Wam!