Niezależność dyskretnych zmiennych losowych i ich funkcji

[ppprezesss]

Udowodnic \(\displaystyle{ g(X)}\) i \(\displaystyle{ h(Y )}\) sa niezależne bo dyskretne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) tez takie są.

Oryginalna treść posta:

1. Pokazać, że jeżeli dyskretne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, to niezależne są
również zmienne \(\displaystyle{ g(X)}\) i \(\displaystyle{ h(Y )}\), gdzie: \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\) – ustalone funkcje.

2. Pokazać, że dla niezależnych zmiennych losowych dyskretnych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) oraz ustalonych
funkcji \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\) zachodzi

\(\displaystyle{ E[g(X)h(Y )] = E\left[ g\left( X\right) \right] E[h(Y )].}\)

Wywnioskować stąd zależność:

\(\displaystyle{ var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).}\)


Z góry dzięki

[norwimaj]

W czym problem?

[ppprezesss]

Próbowałem to udowodnić def. na niezależność i przykładami prawdopodobieństw niezależnych i nic sensownego mi nie wychodzi.

[norwimaj]

Próbowałem to udowodnić def. na niezależność

Słusznie. Przedstaw więc początek rozumowania. Na czym się zatrzymałeś?

i przykładami prawdopodobieństw niezależnych

Nie rozumiem.

[brzoskwinka1]

1) \(\displaystyle{ P(\{\omega \in \Omega :g (X(\omega )) \in A \wedge h(Y(\omega ))\in B\} )=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega ) \in g^{-1} (A) \wedge Y(\omega )\in h^{-1}(B)\} )=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega ) \in g^{-1} (A)\} )\cdot P( \{\omega \in \Omega : Y(\omega )\in h^{-1}(B)\} ) =P(\{\omega \in \Omega :g(X(\omega )) \in A\} )\cdot P( \{\omega \in \Omega : h(Y(\omega ))\in B\} )}\)

[norwimaj]

brzoskwinka1, wszystko w porządku poza tym, że nie ma założenia o mierzalności funkcji \(\displaystyle{ g,h}\). W tym zadaniu coś jest nie tak, bo \(\displaystyle{ g(X)}\) i \(\displaystyle{ h(Y)}\) (formalnie \(\displaystyle{ g\circ X}\) i \(\displaystyle{ h\circ Y}\)) wcale nie muszą być zmiennymi losowymi. Wcześniej myślałem, że to zadanie jest dobre, tylko trzeba jakoś wykorzystać założenie, że zmienne są dyskretne.

[brzoskwinka1]

brzoskwinka1, wszystko w porządku poza tym, że nie ma założenia o mierzalności funkcji \(\displaystyle{ g,h}\). W tym zadaniu coś jest nie tak, bo \(\displaystyle{ g(X)}\) i \(\displaystyle{ h(Y)}\) (formalnie \(\displaystyle{ g\circ X}\) i \(\displaystyle{ h\circ Y}\)) wcale nie muszą być zmiennymi losowymi.

No tak, masz rację mierzalność trzeba założyć.