Przykład zmiennej losowej

[Mistrz]

Czy ktoś mógłby podać przykład zmiennej (najlepiej wypisując wzorem), która miałaby rozkład normalny standardowy?

Dobra, sam już wymyśliłem. Niech \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R} \to (0,1)}\) będzie dystrybuantą rozkładu normalnego standardowego. Wówczas \(\displaystyle{ X = \phi ^{-1}}\), określona na przestrzeni \(\displaystyle{ ((0,1), \mathcal{B}(0,1), l_1)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) to rodzina podzbiorów borelowskich danego zbioru, zaś \(\displaystyle{ l_1}\) to jednowymiarowa miara Lebesgue'a, ma rozkład normalny standardowy.

Ale teraz, dla tak określonej zmiennej \(\displaystyle{ X}\), czy ktoś mógłby powiedzieć, jak wygląda \(\displaystyle{ \sigma (X)}\)? Czy to jest może \(\displaystyle{ \mathcal{B}(0,1)}\)?

[Spektralny]

Dystrybuanta \(\displaystyle{ \phi \colon \mathbb{R}\to (0,1)}\) rozkładu normalnego jest homeomorfizmem, a więc \(\displaystyle{ \phi^{-1}}\) przerzuca różnowartościowo przedziały otwarte na przedziały otwarte. Mamy zatem

\(\displaystyle{ (a,b) = \phi^{-1}(\phi((a,b)))\;\;\;a<b}\)

należy do \(\displaystyle{ \sigma(\phi^{-1})}\), a więc i każdy zbiór borelowski należy do tego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała.