wariancja zmiennej losowej X+Y

[martitaaa]

Dane są dwie niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0,2]}\) natomiast \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ P[Y=2]= \frac{2}{3} , P[Y=8]=\frac{1}{3}.}\) Omówić sposób liczenia wariancji zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) .Podać i udowodnić odpowiednią własność wariancji. Obliczyć \(\displaystyle{ D ^{2}(Z)}\).


Wiem, że trzeba skorzystać z własności, że jeśli zmienne są niezależne to \(\displaystyle{ D^{2}(X+Y)=D^{2}X+D^{2}Y}\). Ale co dalej...

[Kanodelo]

No jeżeli \(\displaystyle{ D^2(X+Y)=D^2(X)+D^2(Y)}\) to można każdą z nich policzyć oddzielnie.

Pierwsza ma rozkład jednostajny i na wariancje jest wzór \(\displaystyle{ Var(X)= \frac{(b-a)^2}{12}}\) dla rozkładu jednostajnego na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\). A jak nie chcesz liczyć ze wzoru (nie było go na wykładzie) to przecież możesz policzyć odpowiednią całkę:
\(\displaystyle{ Var(X)=E(X^2)-((E(X))^2 \\
E(X)=\int_\mathbb{R} xf(x) \mbox{d}x =\int_0^2 x \cdot \frac{1}{2} \mbox{d}x =... \\
E(X^2)=\int_0^2 x^2 \cdot \frac{1}{2} \mbox{d}x}\)

Druga ma rozkład dyskretny, czyli znowu liczymy
\(\displaystyle{ E(Y)=2 \cdot \frac{2}{3}+8 \cdot \frac{1}{3}=... \\
E(Y^2)=4 \cdot \frac{2}{3}+64 \cdot \frac{1}{3}=... \\
Var(Y)=E(Y^2)-((E(Y))^2}\)

[martitaaa]

dzięki tylko nie mam pojęcia skąd wzięła się w całce \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) z tego rozkładu jednostajnego??

[Kanodelo]

Rozkład jednostajny ma gęstość \(\displaystyle{ \frac{1}{b-a}}\) dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\)
czyli dla \(\displaystyle{ x\in[0,2]}\) ma gęstość \(\displaystyle{ \frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}}\)