Niech \(\displaystyle{ (X_1,X_2,...)}\) będzie ciągiem njr o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\) dla \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\). Oblicz \(\displaystyle{ P(-1\le S_{150}<2)}\).
\(\displaystyle{ P(-1\le S_{150}<2) =P\left( \frac{-1-\mathbb{E} S_{150}}{\sqrt{\mbox{Var} S_{150}}} \le \frac{S_{150}-\mathbb{E} S_{150}}{\sqrt{\mbox{Var} S_{150}}}<\frac{2-\mathbb{E} S_{150}}{\sqrt{\mbox{Var} S_{150}}}\right)}\)
i nie wiem jak znaleźć \(\displaystyle{ \mathbb{E} S_{150}}\) i \(\displaystyle{ \mbox{Var} S_{150}}\)
Jak znaleźć E(150)
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Jak znaleźć E(150)
W tym wzorze, w mianownikach, oprócz \(\displaystyle{ \sqrt{VarS_n}}\) musi być jeszcze \(\displaystyle{ \sqrt{150}}\).
Liczymy z definicji:
\(\displaystyle{ ES_{150}=\sum_{i=1}^{150} EX_i= \sum_{i=1}^{150} \left( \int_{-1}^{1} x \cdot |x| dx \right)=0}\)
bo funkcja podcałkowa nieparzysta. Dalej, dla każdego \(\displaystyle{ 1 \le i<j \le 150}\)
\(\displaystyle{ EX_iX_j=EX_iEX_j=0}\) oraz \(\displaystyle{ EX_i^2=\int_{-1}^1 x^2 \cdot |x|dx=\frac{1}{2}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ Var S_{150}= \sum_{i=1}^{150} EX_i^2 +2 \sum_{1 \le i<j \le 150} EX_iX_j = 75}\).
Liczymy z definicji:
\(\displaystyle{ ES_{150}=\sum_{i=1}^{150} EX_i= \sum_{i=1}^{150} \left( \int_{-1}^{1} x \cdot |x| dx \right)=0}\)
bo funkcja podcałkowa nieparzysta. Dalej, dla każdego \(\displaystyle{ 1 \le i<j \le 150}\)
\(\displaystyle{ EX_iX_j=EX_iEX_j=0}\) oraz \(\displaystyle{ EX_i^2=\int_{-1}^1 x^2 \cdot |x|dx=\frac{1}{2}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ Var S_{150}= \sum_{i=1}^{150} EX_i^2 +2 \sum_{1 \le i<j \le 150} EX_iX_j = 75}\).