Niech \(\displaystyle{ (X_1,X_2,...)}\) będzie ciągiem nie zależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie \(\displaystyle{ \Gamma(1,b)}\). Dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\) niech \(\displaystyle{ S_n=X_1+X_2+...+X_n}\). Jaki jest rozkład \(\displaystyle{ S_n}\)? Wyznacz ciągi \(\displaystyle{ (a_n),(b_n)}\) tak aby granicą rozkładów zmiennych \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n}\) przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) był rozkład \(\displaystyle{ N(1,4)}\).
Umiem rozwiązać to zadanie gdyby był podany rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\), bo wtedy \(\displaystyle{ \varphi_{S_n} (t) =\left( 1-\frac{it}{b} \right)^{-n}\sim\Gamma(n,b)}\), a potem musi zachodzić \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n= \frac{S_n-E(S_n)}{ \sqrt{Var(S_n)} }}\), czyli \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\sqrt{Var(S_n)}} =\frac{b}{\sqrt n}}\) i \(\displaystyle{ b_n=- \frac{E(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}}=-\sqrt n}\).
Tylko nie wiem jak to będzie w przypadku rozładu \(\displaystyle{ N(1,4)}\).
Twierdzenia graniczne
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Twierdzenia graniczne
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\), to \(\displaystyle{ \sigma X+\mu}\) ma rozkład ...
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 5 lip 2012, o 10:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdansk
- Podziękował: 2 razy
Twierdzenia graniczne
ma rozkład \(\displaystyle{ N}\)\(\displaystyle{ (m,sigma)}\)?
w takim razie powinnam policzyć tą sumę dla \(\displaystyle{ (\sigma X1+m, \sigma
X2+m... \sigma Xn+m}\)? nie wiem czy to coś zmieni bo funkcja
charakterystyczna wyjdzie taka sama, więc chyba trzeba coś zmienić w tym
w takim razie powinnam policzyć tą sumę dla \(\displaystyle{ (\sigma X1+m, \sigma
X2+m... \sigma Xn+m}\)? nie wiem czy to coś zmieni bo funkcja
charakterystyczna wyjdzie taka sama, więc chyba trzeba coś zmienić w tym
to znaczy zapisać inaczej tą wariancję, ale nie wiem jak;(\(\displaystyle{ a_nS_n+b_n= \frac{S_n-E(S_n)}{ \sqrt{Var(S_n)} }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Twierdzenia graniczne
Jeśli granicą rozkładów \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\), to granicą rozkładów \(\displaystyle{ \sigma(a_nS_n+b_n)+\mu}\) jest ...
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 5 lip 2012, o 10:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdansk
- Podziękował: 2 razy
Twierdzenia graniczne
No pewnie \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma)}\) ale nie wiem jak to wykorzystać później w zadaniu
Ostatnio zmieniony 18 lip 2012, o 13:39 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Ukośniki w drugą stronę; \ zamiast /.
Powód: Ukośniki w drugą stronę; \ zamiast /.