Twierdzenia graniczne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Twierdzenia graniczne

Post autor: Kanodelo »

Niech \(\displaystyle{ (X_1,X_2,...)}\) będzie ciągiem nie zależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie \(\displaystyle{ \Gamma(1,b)}\). Dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\) niech \(\displaystyle{ S_n=X_1+X_2+...+X_n}\). Jaki jest rozkład \(\displaystyle{ S_n}\)? Wyznacz ciągi \(\displaystyle{ (a_n),(b_n)}\) tak aby granicą rozkładów zmiennych \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n}\) przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) był rozkład \(\displaystyle{ N(1,4)}\).

Umiem rozwiązać to zadanie gdyby był podany rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\), bo wtedy \(\displaystyle{ \varphi_{S_n} (t) =\left( 1-\frac{it}{b} \right)^{-n}\sim\Gamma(n,b)}\), a potem musi zachodzić \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n= \frac{S_n-E(S_n)}{ \sqrt{Var(S_n)} }}\), czyli \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\sqrt{Var(S_n)}} =\frac{b}{\sqrt n}}\) i \(\displaystyle{ b_n=- \frac{E(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}}=-\sqrt n}\).
Tylko nie wiem jak to będzie w przypadku rozładu \(\displaystyle{ N(1,4)}\).
liwonze
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 5 lip 2012, o 10:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk
Podziękował: 2 razy

Twierdzenia graniczne

Post autor: liwonze »

również mam problem z tym samym zadaniem co kolega, ma ktoś może pomysł?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Twierdzenia graniczne

Post autor: norwimaj »

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\), to \(\displaystyle{ \sigma X+\mu}\) ma rozkład ...
liwonze
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 5 lip 2012, o 10:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk
Podziękował: 2 razy

Twierdzenia graniczne

Post autor: liwonze »

ma rozkład \(\displaystyle{ N}\)\(\displaystyle{ (m,sigma)}\)?
w takim razie powinnam policzyć tą sumę dla \(\displaystyle{ (\sigma X1+m, \sigma
X2+m... \sigma Xn+m}\)
? nie wiem czy to coś zmieni bo funkcja
charakterystyczna wyjdzie taka sama, więc chyba trzeba coś zmienić w tym
\(\displaystyle{ a_nS_n+b_n= \frac{S_n-E(S_n)}{ \sqrt{Var(S_n)} }}\)
to znaczy zapisać inaczej tą wariancję, ale nie wiem jak;(
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Twierdzenia graniczne

Post autor: norwimaj »

Jeśli granicą rozkładów \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\), to granicą rozkładów \(\displaystyle{ \sigma(a_nS_n+b_n)+\mu}\) jest ...
liwonze
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 5 lip 2012, o 10:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk
Podziękował: 2 razy

Twierdzenia graniczne

Post autor: liwonze »

No pewnie \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma)}\) ale nie wiem jak to wykorzystać później w zadaniu
Ostatnio zmieniony 18 lip 2012, o 13:39 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Ukośniki w drugą stronę; \ zamiast /.
ODPOWIEDZ