Granice całkowania dla wartości oczekiwanej zmiennej losowej

[vtvs]

Mam gęstość prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{8}(x+y)\ dla\ 0 \le x,\ 0 \le y,\ x+y \le 2\\
0\ w\ innym\ wypadku \end{cases}}\)

Potrzebuję policzyć E[X], E[Y] i E[XY]. Czy granice całkowania (i wzory), jakie podałem poniżej są prawidłowe?

\(\displaystyle{ E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{3}{8}(x+y) dx}\)
\(\displaystyle{ E[Y] = \int_{0}^{2} y \cdot \frac{3}{8}(x+y) dy}\)
\(\displaystyle{ E[XY] = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x}xy \cdot \frac{3}{8}(x+y) dx dy}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \mathbb EX}\) nie może zależeć od \(\displaystyle{ y}\). To, co podałeś, to jest \(\displaystyle{ \mathbb E(X|Y=y)}\).

Powinieneś najpierw znaleźć rozkłady zmiennych \(\displaystyle{ X,Y,XY}\).

[vtvs]

Ok, czy w takim razie, mając rozkłady brzegowe, wzory i granice będą następujące?

\(\displaystyle{ E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot f_{X}(x) dx}\)
\(\displaystyle{ E[Y] = \int_{0}^{2} y \cdot f_{Y}(y) dy}\)
\(\displaystyle{ E[XY] = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x}xy \cdot \frac{3}{8}(x+y) dx dy}\)

[norwimaj]

Masz rację. Niepotrzebnie pisałem o zmiennej \(\displaystyle{ XY}\).