Rozkład zmiennej losowej

[Elvenpat]

\(\displaystyle{ \Omega=[0,3]}\) i niech P będzie unormowaną miarą Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \Omega}\). Wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję następującej zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ X(\omega)= \begin{cases} 2\omega +1, \\ - \omega^{2}+2, \\ 3, \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases{cases}} 0 \le \omega \le 1 \\ 1 < \omega < 2 \\ 2 \le \omega \le 3 \end{cases{cases}}}\)

Z wartością oczekiwaną i wariancją nie będzie raczej problemu, chodzi mi głównie o wyznaczenie rozkładu. Próbowałem najpierw przerobić to na dystrybuantę, a potem potraktować pochodną, jednak jak na razie bez większych efektów. Prosiłbym o objaśnienie tego zagadnienia.

[tometomek91]

Dobrze próbowałeś. Mi dystrybuanta wyszła taka:
\(\displaystyle{ F(t)= \begin{cases} 0\ \ \ \ t \le -2 \\ \frac{1}{3}(2-\sqrt{2-t}) \ \ t \in (-2,1) \\ \frac{1}{3} \left(1+ \frac{t-1}{2} \right) \ \ t \in [1,3] \\ 1 \ \ \ \ t>3 \end{cases}}\)

[Elvenpat]

Chyba minimalny błąd się wkradł dla \(\displaystyle{ t \in (-2,1)}\). Nie ma tam nigdzie zmiennej t, a nie wydaje mi się żeby to była stała w tym miejscu. I czy możesz podać tok rozumowania jak obliczyć wartości tej dystrybuanty dla poszczególnych przedziałów?

[tometomek91]

Tak, już poprawiłem, dzięki
Jak mamy taką przyjazną miarę jak miarę Lebesgue'a, to łatwo znaleźc dystrybuantę, bo
\(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)=\lambda \left( \{ \omega:\ X( \omega) \in (- \infty, t) \} \right)}\) czyli wystarczy znaleźć długości przeciwobrazów (odcinków) zbiorów postaci \(\displaystyle{ (- \infty, t)}\) (lambda to miara Lebesgue'a).
I tak na przykład dla \(\displaystyle{ t=-1}\), przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ (-\infty , -1)}\) przez odwzorowanie \(\displaystyle{ X}\) to zbiór \(\displaystyle{ \frac{1}{3}(2-\sqrt{3})}\).

[alekksis]

W jaki sposób wyszedł ten przeciwobraz? Może ktoś wyznaczyć dystrybuantę krok po kroku? Kompletnie nie umiem sobie z tym poradzić.