Wektor losowy - gęstości rozkładów brzegowych

[rtuszyns]

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład określony gęstością:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} C(x+y^2), 0 \le x\le 1 \wedge 0 \le x\le 1\\
0, {\rm pozostałe }\end{cases}}\).
Oblicz stałą \(\displaystyle{ C}\), wyznacz gęstości rozkładów brzegowych i sprawdź, czy zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.

[Lider Artur]

stała \(\displaystyle{ C}\)-scałkuj funkcję po \(\displaystyle{ R^2}\). Ta całka musi się równać \(\displaystyle{ 1}\)

[rtuszyns]

To wiem i już sam doszedłem do reszty zadania. Dzięki za pomoc

[leszczu450]

Wyszło mi tutaj, że:

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{6}{5} (x+y^2), & 0 \le x\le 1 \wedge 0 \le x\le 1\\ 0, & {\rm pozostałe }\end{cases}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_0^1 \frac{6}{5}(x+ y^2)\mathrm{d}y= \frac{6}{5}\left( x+ \frac{1}{3}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)

i

\(\displaystyle{ f_Y(y)= \int_0^1 \frac{6}{5}(x+ y^2)\mathrm{d}x = \frac{6}{5}\left( \frac{1}{2} + y^2 \right)}\) dla \(\displaystyle{ y \in [0,1]}\)

Teraz pytanie. Kiedy zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne. Chyba wtedy, gdy \(\displaystyle{ f(x,y)=f_X(x) \cdot f_Y(y)}\)

Dla \(\displaystyle{ x,y \in \left[ 0,1\right]}\) mamy :

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{6}{5}(x+ y^2)}\)

Zaś:

\(\displaystyle{ f_X(x) \cdot f_Y(y)= \frac{6}{5}\left( x+\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{6}{5}\left( \frac{1}{2}+ y^2\right)}\)

I stąd:

\(\displaystyle{ f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)}\)

Czy wszystko jest ok ? Proszę o sprawdzenie.