Liczenie mediany (kilka pierwiastków równania)

[vtvs]

Mam funkcję gęstości daną wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{3}{8}(4x - 2x^{2})\ dla\ x \in \left\langle 0, 2\right\rangle\\0\ dla\ x \notin \left\langle0, 2\right\rangle\end{cases}}\)

Medianę liczę ze wzoru znalezionego na wikipedii:

\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{m}f(x)=\frac{1}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) to szukana mediana. Dochodzę jednak do wielomianu stopnia trzeciego i wychodzą trzy pierwiastki. Jeden ujemny odrzuciłem. Co jednak z dwoma pozostałymi - dodatnimi? Obydwie wartości są medianami?
Wyniki: \(\displaystyle{ m = 1 \vee m = 1- \sqrt{3} \vee m=1+\sqrt{3}}\)

[Kartezjusz]

mediana musi należeć do zadanego przedziału. Tutaj tylko 1 to spełnia...

[norwimaj]

Tu medianą na pewno jest \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ f(1+x)=f(1-x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\).

Nieprawda, że równanie \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{m}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}}\) ma inne rozwiązania oprócz \(\displaystyle{ m=1}\) (mamy przecież rozkład ciągły).

\(\displaystyle{ m = 1- \sqrt{3}}\) nie pasuje, bo \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{1- \sqrt{3}}f(x)\mathrm{d}x=0\ne\frac12}\).