gęstość zmiennej X-Y na kole

[KasienkaG]

wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \frac{2}{\pi} \cdot \left( x^2+y^2\right)}\) na kole o środku 0 i prom 1
i zero poza tym

Jak obliczyć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Z=X-Y}\)??
Nie radzę sobie z takimi zadaniami, a to już całkiem przerosło moje siły.

[tometomek91]

Zrobiłbym to tak: znajdujemy dystrybuantę
dla \(\displaystyle{ t \ge \sqrt{2}}\) mamy
\(\displaystyle{ P(Z<t)=1}\), bo zmienna losowa przyjmuje wartości tylko na kole.
dla \(\displaystyle{ t in [1, sqrt{2} )}\) wtedy
\(\displaystyle{ P(Z<t)=1-\int_{\frac{-2t-\sqrt{8-4t^2}}{4}}^{\frac{-2t+\sqrt{8-4t^2}}{4}} \int_{y+t}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{2}{\pi} (x^2+y^2) dxdy}\)
dla \(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ P(Z<t)=\int_{\frac{2t-\sqrt{8-4t^2}}{4}}^{\frac{2t+\sqrt{8-4t^2}}{4}} \int_{x-t}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{2}{\pi} (x^2+y^2) dydx+ 2\int_{-1}^{\frac{2t-\sqrt{8-4t^2}}{4}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{2}{\pi} (x^2+y^2) dydx}\)
dla \(\displaystyle{ t \in (-\sqrt{2},-1]}\) jest
\(\displaystyle{ P(Z<t)=\int_{\frac{2t-\sqrt{8-4t^2}}{4}}^{\frac{2t+\sqrt{8-4t^2}}{4}} \int_{x-t}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{2}{\pi} (x^2+y^2) dydx}\)
i dla \(\displaystyle{ t \le -\sqrt{2}}\) mamy \(\displaystyle{ P(Z<t)=0}\).
Teraz to pocałkować i policzyć gęstość. Tutaj obrazek dla \(\displaystyle{ t}\) z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\):

[KasienkaG]

Dzięki wielkie, a jeszcze przy okazji jest jakiś inny sposób na obliczenie w tym przypadku gęstości? chodzi mi o jakiś krótszy, bo ten nie jest zbyt przyjemny.

[tometomek91]

Można jeszcze policzyć rozkłady brzegowe:
gęstość rozkładu zmiennej X:
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{2}{\pi} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2) dy= \frac{4}{3 \pi} \sqrt{1-x^2} (2x^2+1)}\)
gęstość rozkładu zmiennej Y:
\(\displaystyle{ h(y)=\frac{2}{\pi} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} (x^2+y^2) dx=\frac{4}{3 \pi} \sqrt{1-y^2} (2y^2+1)}\)
ale \(\displaystyle{ f(x,y) \neq g(x)h(y)}\) więc zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są niezależne. W przeciwnym wypadku można byłoby znaleźć łatwo rozkład \(\displaystyle{ -Y}\) i policzyć splot, czyli gęstość \(\displaystyle{ Z=X+(-Y)}\).

[KasienkaG]

Podsumowując sposób przedstawiony przez Ciebie to jedyna metoda obliczenia gęstości w tym przypadku?

[tometomek91]

Nie znam innych sposobów ;P

[KasienkaG]

Dzięki wielkie za pomoc, bo sama się pogubiłam w tymch całkach. Dziękuję, że mi to wszystko rozpisałeś!

[norwimaj]

Można zauważyć że gęstość jest niezmiennicza ze względu na obroty, a więc rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X-Y}\) to będzie to samo co rozkład \(\displaystyle{ X}\).

Edit: Pomyliłem się. To nie będzie dokładnie ten sam rozkład, ale przeskalowany.

Formalnie to można zapisać robiąc podstawienie
\(\displaystyle{ \begin{cases}X-Y=\sqrt2S\\X+Y=\sqrt2T.\end{cases}}\)-- 19 cze 2012, o 11:53 --Jeśli \(\displaystyle{ g}\) oznacza gęstość \(\displaystyle{ (S,T)}\), to

\(\displaystyle{ g(s,t)=f\left(\frac{s+t}{\sqrt2},\frac{t-s}{\sqrt2}\right)\cdot1=\\\\=\frac{2}{\pi}\left(\frac{s^2+2st+t^2}2+\frac{s^2-2st+t^2}2\right)\cdot\chi_{B(0,1)}(s,t)=f(s,t)}\),

czyli gęstość \(\displaystyle{ S=\frac{X-Y}{\sqrt2}}\) jest taka jak gęstość \(\displaystyle{ X}\)

[tometomek91]

Świetne rozwiązanie.

\(\displaystyle{ g(s,t)=f\left(\frac{s+t}{\sqrt2},\frac{t-s}{\sqrt2}\right)\cdot1}\)

Dlaczego tutaj jeszcze razy jeden?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ 1}\) to jest moduł jakobianu podstawienia.

Może lepiej by było zrobić podstawienie bez tych \(\displaystyle{ \sqrt2}\), żeby od razu mieć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ (X-Y,X+Y)}\) a nie \(\displaystyle{ \left(\frac{X-Y}{\sqrt2},\frac{X+Y}{\sqrt2}\right)}\).