Rozkład wektora losowego (do sprawdzenia)

[wiskitki]

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny na trójkącie zadanym nierównościami \(\displaystyle{ x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1}\). Znaleźć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ U=X+Y, V=X-Y}\).

Prosiłbym o sprawdzenie:
Pole trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), czyli funkcja gęstości to \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ X+Y=U \\ Y+U-X}\)
dla \(\displaystyle{ U\in[0,1]}\) \(\displaystyle{ F(U)=\int_0^u\int_0^{u-x} 2 dydx}\)
dla \(\displaystyle{ U\notin[0,1]}\) \(\displaystyle{ F(U)=0}\)

\(\displaystyle{ X-Y=V \\ Y=X-V}\)
dla \(\displaystyle{ V\in[-1,1]}\) \(\displaystyle{ F(V)=\int_0^v\int_0^{v-x} 2 dydx}\)
dla \(\displaystyle{ V\notin[-1,1]}\) \(\displaystyle{ F(V)=0}\)

[tometomek91]

\(\displaystyle{ U}\) dobrze, a \(\displaystyle{ V}\), jak całkujemy w tej kolejności, to trzeba podzielić na dwa obszary normalne względem osi x i, w ogóle, rozbić ten przypadek na dwa: \(\displaystyle{ V in [-1, 0)}\) i \(\displaystyle{ V \in [0,1]}\).

[wiskitki]

Ok. Czyli w drugim przypadku tak to należy zrobić?
dla \(\displaystyle{ v\in[-1,0]}\) \(\displaystyle{ F(V)=\int_{v-1}^1 \int_{v-x}^1 2 dydx}\)
dla \(\displaystyle{ v\in[0,1]}\) \(\displaystyle{ F(V)=\int_0^v \int_0^{v-x} 2 dy dx}\)
dla pozostałych \(\displaystyle{ F(V)=0}\)

[tometomek91]

Nie, narysuj sobie.
Niech \(\displaystyle{ v\in[-1,0]}\). Wtedy \(\displaystyle{ F(v)=\int_{v}^{\frac{v+1}{2}} \int_{0}^{x-v} 2 dydx + \int_{\frac{v+1}{2}}^{1} \int_{0}^{1-x} 2 dydx}\).
Podobnie dla \(\displaystyle{ v\in(0,1]}\).
Można to policzyć bez całek - jest to po prostu pole trójkąta.

[wiskitki]

A czy ostatnia granica w drugiej całce nie powinna wynosić \(\displaystyle{ x-1}\) zamiast \(\displaystyle{ 1-x}\)?
I skąd się bierze \(\displaystyle{ \frac{v+1}{2}}\)? Przecież jak się liczy całki podwójne po trójkątach, to zawsze współrzędne po \(\displaystyle{ x}\) są liczbami, a współrzędne po \(\displaystyle{ y}\) funkcjami zależnymi od \(\displaystyle{ x}\), więc czy tam nie powinno być po prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

[tometomek91]

A czy ostatnia granica w drugiej całce nie powinna wynosić \(\displaystyle{ x-1}\) zamiast \(\displaystyle{ 1-x}\)?

Nie, jest dobrze.

I skąd się bierze \(\displaystyle{ \frac{v+1}{2}}\)? Przecież jak się liczy całki podwójne po trójkątach, to zawsze współrzędne po \(\displaystyle{ x}\) są liczbami, a współrzędne po \(\displaystyle{ y}\) funkcjami zależnymi od \(\displaystyle{ x}\), więc czy tam nie powinno być po prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

No jak widać nie zawsze , tutaj zależy to od \(\displaystyle{ v}\).
Bierze się to stąd, że obszar całkowania (ten trójkącik prostokątny równoramienny) dzielimy na dwa obszary normalne względem osi x. Narysuj i zobaczysz ;p