ENW, przedział ufności

[silvaran]

Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbą złożoną z niezależnych obserwacji z tego samego rozkładu jednostajnego \(\displaystyle{ U[0,\theta] , \theta >0}\). Jesteśmy zainteresowani wyznaczeniem przedziału ufności dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\) na poziomie ufności 0,9 postaci \(\displaystyle{ [a overline{ heta}, b overline{ heta}}\) przy czym \(\displaystyle{ \overline{\theta}=\overline{\theta}(X_1,\dots,X_n)}\) oznacza estymator największej wiarogodności, a liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są tak dobrane, że \(\displaystyle{ P(\theta < a\overline{\theta})=P(\theta >b\overline{\theta})=0,05}\). Znaleźć stałe \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

PS. Nie wiedziałem jak oznaczyć estymator tym daszkiem, więc go nadkreśliłem Jeśli ktoś wie jak, to będę wdzięczny za informację

[norwimaj]

Oczywiście zacząć należy od wyznaczenia \(\displaystyle{ \widehat{\theta}}\) albo \(\displaystyle{ \hat{\theta}}\) ( widehat{ heta}, hat{ heta} ).

[silvaran]

No więc będzie to n-ta statystyka pozycyjna. Co dalej?

[norwimaj]

To teraz dla ustalonego \(\displaystyle{ \theta}\) i ustalonego \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) oblicz \(\displaystyle{ P\left(\theta < a\hat{\theta}\right)=P\left(\theta < aX_{n:n}\right)}\).

[silvaran]

Niech \(\displaystyle{ F(x)}\) będzie dystrybuantą rozkładu jednostajnego. Wzór na dystrybuantę n-tej statystyki pozycyjnej to: \(\displaystyle{ F(x)^n}\). Więc:
\(\displaystyle{ 0,05=P(\theta < a\hat{\theta})=1-P(X_{n:n}\leq \frac{\theta}{a})=1-F\left( \frac{\theta}{a}\right)^n}\)
Czyli \(\displaystyle{ F\left( \frac{\theta}{a}\right)=(0,95)^{-n}}\)
Tak?

I teraz założyć, że \(\displaystyle{ a>1}\) bo inaczej mielibyśmy \(\displaystyle{ 0=(0,05)^{-n}}\) lub \(\displaystyle{ 1=(0,05)^{-n}}\) czyli \(\displaystyle{ n}\) musiałoby być równe odpowiednio nieskończoność i zero.

Więc \(\displaystyle{ a>1}\) to \(\displaystyle{ 0<\frac{\theta}{a}<\theta}\) , a dystrybuanta dla punkt \(\displaystyle{ x}\) z tego przedziału to \(\displaystyle{ F(x)=\frac{x}{\theta}}\) i to daje:
\(\displaystyle{ a=(0,95)^n}\)

A b wyjdzie \(\displaystyle{ (0,05)^n}\)? Chyba odwrotnie, ale nie widzę gdzie jest błąd. Ważne, że już zdałem dziś ten egzamin ze staty

[norwimaj]

Czyli \(\displaystyle{ F\left( \frac{\theta}{a}\right)=(0,95)^{-n}}\)

\(\displaystyle{ F\left( \frac{\theta}{a}\right)^n=0,95}\)
\(\displaystyle{ F\left( \frac{\theta}{a}\right)=(0,95)^{\frac1n}}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ a>1}\) wbrew temu co pisałem.