Rozkład normalny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Rozkład normalny

Post autor: wiskitki »

Niech P będzie rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Sprawdź, czy prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ P((1,3))+P((2,5))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_1^5e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}\).

No to wiem, że lewa strona jest równa \(\displaystyle{ F(3)-F(1)+F(5)-F(2)}\), ale w tablicach są wartości dystrybuanty tylko od 0 do 3,9, czyli nie ma np. \(\displaystyle{ F(5)}\) i nie wiem jak to inaczej obliczyć.
A prawa strona to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi} erf \frac{5}{\sqrt2} }{\sqrt2}- \frac{\sqrt{\pi} erf \frac{1}{\sqrt2} }{\sqrt2}}\). Tylko jak to doprowadzić do takiej postaci, żeby było widać, że się równa lewej?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Rozkład normalny

Post autor: Nakahed90 »

Skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infinity}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy}\)
I postaraj się uprościć lewą stronę, korzystając z własności całek.

@edit:poprawka w granicy
Ostatnio zmieniony 17 cze 2012, o 19:12 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Rozkład normalny

Post autor: wiskitki »

Czyli:
\(\displaystyle{ F(3)+F(5)-F(1)-F(2)=\\ \int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy+\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy-\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy-\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy}\)
No to jak mamy pole \(\displaystyle{ x<3}\) i \(\displaystyle{ x<5}\), to suma tych pól to \(\displaystyle{ x<5}\) i odejmujemy od tego sumę pól \(\displaystyle{ x<1}\) i \(\displaystyle{ x<2}\), czyli razem \(\displaystyle{ x<2}\). Jak od \(\displaystyle{ x<5}\) odejmiemy \(\displaystyle{ x<2}\) to zostanie całka od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 5}\), czyli ta równość nie zachodzi... Dobrze kombinuję?
ODPOWIEDZ