wyznaczyć gęstośc i dystrybuante

[Marien]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases} \frac{1}{8}x \ x \in \left[ 0,4\right] \\0 \ poza\end{cases}}\).
Wyznaczyć gęstość i dystrybuante zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X ^{2}}\).
Nie wiem czy powinno się zacząć w ten sposób:
\(\displaystyle{ F _{Y}=P(Y<y)=P(X ^{2}<y)=P( -\sqrt{y}<X< \sqrt{y})}\)
czy tak:
\(\displaystyle{ F _{Y}=P(Y<y)=P(X ^{2}<y)=P(X< \sqrt{y})}\)

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ F_Y(y)=\begin{cases} P(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})\ &\text{dla}\ y>0 \\ 0\ &\text{dla}\ y\le 0 \end{cases}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^2}\) nie przyjmuje wartości ujemnych.

[Marien]

A w jakim przypadku byłaby taka sytuacja:
\(\displaystyle{ F _{Y}=P(Y<y)=P(X ^{2}<y)=P(X< \sqrt{y})}\)

[lukasz1804]

W żadnym przypadku. Nierówność \(\displaystyle{ X^2<y}\) (podobnie jak dla liczb) jest równoważna tej, którą powyżej zapisałem (z podziałem na dwa przypadki).

[Marien]

Dziękuję.