splot gęstości rozkładu jednostajnego

[KasienkaG]

Jak korzystając z definicji obliczyć
f*f
f*f*f,
gdzie f jest gęstością rozkładu jednostajnego na [0,1], czyli \(\displaystyle{ f\left( x\right)= 1\hspace{-2.3mm}{1} _{\left[ 0,1\right] } \left( x\right)}\).

Przez definicję rozumiem
\(\displaystyle{ f*g\left( x\right)= \int_{- \infty}^{\infty} f\left( x-y\right)g\left( y\right)dy}\).

Czy ktoś mógłby mi to wyjaśnić?

Zaczęłam pierwsze i doszłam do:
\(\displaystyle{ f*f\left( x\right)=...= \int_{0}^{1} 1\hspace{-2.3mm}{1} _{\left[ 0,1\right] } \left( x-y\right) dy}\) i nie wiem co dalej

[norwimaj]

To dalej musisz popatrzeć, dla jakich \(\displaystyle{ y}\) zachodzi \(\displaystyle{ x-y\in[0,1]}\). Pewnie trzeba będzie rozpatrzyć przypadki w zależności od tego, jaki jest \(\displaystyle{ x}\).

[KasienkaG]

wiem, rozwiązałam to nawet bez użycia splotu, tylko nie potrafię "dopatrzeć się" tych przypadków...
a co do f*f*f to wiem, że można zrobić (f*f)*f, tylko nadal nie wiem jak sobie z tym poradzić

[norwimaj]

tylko nie potrafię "dopatrzeć się" tych przypadków..

Nierówność \(\displaystyle{ 0\le x-y\le1}\) potrafisz rozwiązać ze względu na \(\displaystyle{ y}\)?

[KasienkaG]

\(\displaystyle{ x-1 \le y \le x}\)

[norwimaj]

i do tego mamy drugi warunek, że \(\displaystyle{ 0\le y\le1}\), czyli ostatecznie mamy granice całkowania \(\displaystyle{ \max(0,x-1)\le y\le \min(1,x)}\).

Przypadki otrzymujemy rozpisując
\(\displaystyle{ \max(0,x-1)=\begin{cases}0&\text{dla }x\le1\\x-1&\text{dla }x\ge1.\end{cases}}\)

[KasienkaG]

dzięki!