Rozkład zmiennej Z=X+Y

[Elvenpat]

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).

Znalazłem w jednej z książek identyczne zadanie, tylko że dla rozkładu jednostajnego. Rozumowanie tamto rozumiem i jestem w stanie je odtworzyć. Jednak nie mam kompletnie pomysłu jak się za to zabrać w przypadku rozkładu dyskretnego. Proszę o pomoc.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ k \ge 2}\), korzystając z niezależności:
\(\displaystyle{ P(Z=k)=P(X+Y=k)=\sum_{m=1}^{k} P(X=m,Y=k-m)=\\
\sum_{m=1}^{k} P(X=m)P(Y=k-m)= \sum_{m=1}^{k} (1-p)^{m-1}p \cdot (1-p)^{k-m-1}p=\\
\sum_{m=1}^{k} (1-p)^{k-2} p^2=k (1-p)^{k-2} p^2}\)
Czyli rozkład \(\displaystyle{ Z}\) to:
\(\displaystyle{ k \rightarrow k (1-p)^{k-2} p^2}\).

[norwimaj]

Można też bez sumowania. Liczymy prawdopodobieństwo, że drugi sukces jest w \(\displaystyle{ k}\)-tej próbie. W \(\displaystyle{ k-1}\) próbach ma być jeden sukces (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ kp(1-p)^{k-2}}\)) i w \(\displaystyle{ n}\)-tej próbie ma być sukces (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p}\)). Stąd mamy \(\displaystyle{ kp(1-p)^{k-2}\cdot p}\).