Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).
Znalazłem w jednej z książek identyczne zadanie, tylko że dla rozkładu jednostajnego. Rozumowanie tamto rozumiem i jestem w stanie je odtworzyć. Jednak nie mam kompletnie pomysłu jak się za to zabrać w przypadku rozkładu dyskretnego. Proszę o pomoc.
Rozkład zmiennej Z=X+Y
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 14 cze 2012, o 15:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Rozkład zmiennej Z=X+Y
Ostatnio zmieniony 14 cze 2012, o 16:29 przez tometomek91, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Rozkład zmiennej Z=X+Y
Niech \(\displaystyle{ k \ge 2}\), korzystając z niezależności:
\(\displaystyle{ P(Z=k)=P(X+Y=k)=\sum_{m=1}^{k} P(X=m,Y=k-m)=\\
\sum_{m=1}^{k} P(X=m)P(Y=k-m)= \sum_{m=1}^{k} (1-p)^{m-1}p \cdot (1-p)^{k-m-1}p=\\
\sum_{m=1}^{k} (1-p)^{k-2} p^2=k (1-p)^{k-2} p^2}\)
Czyli rozkład \(\displaystyle{ Z}\) to:
\(\displaystyle{ k \rightarrow k (1-p)^{k-2} p^2}\).
\(\displaystyle{ P(Z=k)=P(X+Y=k)=\sum_{m=1}^{k} P(X=m,Y=k-m)=\\
\sum_{m=1}^{k} P(X=m)P(Y=k-m)= \sum_{m=1}^{k} (1-p)^{m-1}p \cdot (1-p)^{k-m-1}p=\\
\sum_{m=1}^{k} (1-p)^{k-2} p^2=k (1-p)^{k-2} p^2}\)
Czyli rozkład \(\displaystyle{ Z}\) to:
\(\displaystyle{ k \rightarrow k (1-p)^{k-2} p^2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Rozkład zmiennej Z=X+Y
Można też bez sumowania. Liczymy prawdopodobieństwo, że drugi sukces jest w \(\displaystyle{ k}\)-tej próbie. W \(\displaystyle{ k-1}\) próbach ma być jeden sukces (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ kp(1-p)^{k-2}}\)) i w \(\displaystyle{ n}\)-tej próbie ma być sukces (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p}\)). Stąd mamy \(\displaystyle{ kp(1-p)^{k-2}\cdot p}\).