prawdopodobieństwo średnie

[bron]

Prawdopodobieństwo zbicia naczynia przy zmywaniu Piotra wynosi 0,02 Bartka 0,08 Marcina 0,09. Piotr bartek i marcin zmywaja odpowiednio po sniadaniu obiedzie i kolacji. oblicz prawdopodobieństwo ze w ciagu dnia zostanie coś zbite.

czy mozna to zrobic licząc srednia prawdopodobieństw tj \(\displaystyle{ \frac{0,02+0,09+0,08}{3}}\)?

[Majeskas]

Nie. Ja tu raczej widzę zdarzenia niezależne. Zakładamy, że wszyscy trzej panowie zbijają naczynia niezależnie od siebie, oraz że zbijanie naczyń po każdym posiłku jest niezależnie od pozostałych. Wówczas

\(\displaystyle{ p=0{,}02}\)
\(\displaystyle{ b=0{,}08}\)
\(\displaystyle{ m=0{,}09}\)

\(\displaystyle{ A_1}\) - coś zostanie zbite przy śniadaniu
\(\displaystyle{ A_2}\) - coś zostanie zbite przy obiedzie
\(\displaystyle{ A_3}\) - coś zostanie zbite przy kolacji

\(\displaystyle{ A}\) - w ciągu dnia coś zostanie zbite
\(\displaystyle{ A'}\) - w ciągu dnia nic nie zostanie zbite

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A')=\mathbb{P}(A_1'\cap A_2'\cap A_3')=\mathbb{P}(A_1')\cdot\mathbb{P}(A_2')\cdot\mathbb{P}(A_3')=\left((1-p)(1-b)(1-m)\right)^3}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A')}\)

[bron]

a gdyby było obliczyć prawdopodobieństwo ze jeden z braci zbije naczynie w ciągu dnia?? to wtedy jest srednia z prawdopodobieństw??

[Majeskas]

Nie wiem, czemu tak się uparłeś na tę średnią. Nie słyszałem nigdy o takich metodach liczenia prawdopodobieństwa. Chodzi Ci o zdarzenie: którykolwiek brat zbije jakieś naczynie w ciągu dnia?

[bron]

Chodzi mi o to jakie jest prawdopodobieństwo ze jeden brat zbije naczynie w ciągu dnia.jest ich 3trzech i nie wiadomo który zbije.

[Majeskas]

Ok, ale dokładnie jeden z braci? Czy może być tak, że dwóch coś zbiło? I dokładnie jedno naczynie? Czy np. może zbić jedno przy śniadaniu i jedno przy kolacji?

[bron]

jest napisane " oblicz prawdopodobieństwo ze jeden z braci zbije naczynie przy zmywaniu" wiec chyba dokładnie jeden. załużmy ze dokładnie jeden

[Majeskas]

Dokładnie jedno naczynie?

[bron]

dokładie jedno naczynie

[Majeskas]

Wprowadźmy oznaczenia

\(\displaystyle{ B}\) - Bartek stłukł naczynie.

\(\displaystyle{ P}\) - Piotr stłukł naczynie.

\(\displaystyle{ M}\) - Marcin stłukł naczynie.

\(\displaystyle{ C_1}\) - Dokładnie jeden z braci zbił coś po śniadaniu.

\(\displaystyle{ C_2}\) - Dokładnie jeden z braci zbił coś po obiedzie.

\(\displaystyle{ C_3}\) - Dokładnie jeden z braci zbił coś po kolacji.

\(\displaystyle{ D}\) - Dokładnie jeden z braci zbił coś w trakcie dokładnie jednego posiłku.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(D)=\mathbb{P}((C_1\cap C_2'\cap C_3')\cup(C_2\cap C_1'\cap C_3')\cup(C_3\cap C_1'\cap C_2'))=\\\\=\mathbb{P}(C_1\cap C_2'\cap C_3')+\mathbb{P}(C_2\cap C_1'\cap C_3')+\mathbb{P}(C_3\cap C_1'\cap C_2')}\)

Bowiem zdarzenia \(\displaystyle{ C_1\cap C_2'\cap C_3',\,C_2\cap C_1'\cap C_3',\,C_3\cap C_1'\cap C_2'}\) są parami rozłączne. Ponadto są one równo prawdopodobne, policzymy więc dla przykładu

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_1\cap C_2'\cap C_3')}\)

Zdarzenia \(\displaystyle{ C_1,C_2',C_3'}\) są niezależne, mamy więc

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_1\cap C_2'\cap C_3')=\mathbb{P}(C_1)\cdot\mathbb{P}(C_2')\cdot\mathbb{P}(C_3')=\mathbb{P}(C_1)(1-\mathbb{P}(C_2))(1-\mathbb{P}(C_3))=\\\\=\mathbb{P}(C_1)(1-\mathbb{P}(C_1))^2}\)

Ostatnia równość wzięła się z faktu, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_1)=\mathbb{P}(C_2)=\mathbb{P}(C_3)}\).

Przejdźmy więc do policzenia \(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_1)}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_1)=\mathbb{P}((B\cap P'\cap M')\cup(P\cap B'\cap M')\cup(M\cap B'\cap P'))=\\\\=\mathbb{P}(B\cap P'\cap M')+\mathbb{P}(P\cap B'\cap M')+\mathbb{P}(M\cap B'\cap P')=\\\\=b(1-p)(1-m)+p(1-b)(1-m)+m(1-b)(1-p)}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(D)=3\mathbb{P}(C_1\cap C_2'\cap C_3')=3\mathbb{P}(C_1)(1-\mathbb{P}(C_1))^2}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_1)=b(1-p)(1-m)+p(1-b)(1-m)+m(1-b)(1-p)}\) mamy szukane prawdopodobieństwo w zależności od \(\displaystyle{ b,p,m}\).

Patrząc jednak na stopień skomplikowania tak postawionego problemu przypuszczam, że chodziło raczej o to, że ktokolwiek stłukł cokolwiek, a ten problem rozwiązałem w moim pierwszym poście.

[pitro]

Majeskas, Witaj Majeskas, zastanawialem sie nad nastepującym problemem. Załóżmy że jest kilka niezleżnych wskaźników które określają prawdopodobnieństwo tego samego zdarzenia. Jak ocenić prawdopodobieństwo bazując na tych wskaźnikach razem? Np. ocena pogody - jutro będzie słonecznie. Mam do dyspozycji 3 prognozy pogody. Wiem że

A: 1wsza sprawdza się z prawdopodobenstwem \(\displaystyle{ \frac12}\)
B: 2ga z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac13}\)
C: 3cia z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac14}\)

Czy będzie to srednia z tych 3ch prawdopodobnienstw? \(\displaystyle{ \frac{\frac12 + \frac13 + \frac14}{3}}\) ?

[a4karo]

POmyśl: masz jedną prognozę totalnie niewiarygodną \(\displaystyle{ p_1=0.000001}\) i drugą prawie pewną \(\displaystyle{ p_2=0.999999999}\).

Sądzisz, że padac będzie z p-stwem 1/2?

[Majeskas]

Moim zdaniem sprawa nie jest taka prosta. Przy danych, która podałeś, pitro, łatwo można obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń typu "sprawdzi się jedna prognoza, a dwie nie" albo "nie sprawdzi się żadna z nich" etc.
Do wyznaczenia prawdopodobieństwa tego, czy na podstawie prognozy (choćby jednej), która sprawdza się z pewnym prawdopodobieństwem, pogoda będzie ładna, potrzebne byłyby dane o tym, jaka jest rzeczywista szansa na ładną pogodę. Dalej używalibyśmy twierdzenia Bayesa.
Polecam przeanalizować sobie przykład 3.14 ze str. 36 tego skryptu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~ados/MNRP/MNRP.pdf

.