Rozkład Poissona, wartość oczekiwana, wariancja

[pdobrzan]

1. Ilość nadchodzących zgłoszeń do pewnego serwera w określonym przedziale czasu jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem lambda. Każde zgłoszenie może być z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) odrzucone przez serwer. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że \(\displaystyle{ k}\) zgłoszeń zostanie przyjętych przez serwer.

2. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac13 \cdot f_1 \left( x \right) + \frac23 \cdot f_2 \left( x \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_1 \left( x \right)}\) jest gęstością prawdopodobieństwa rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N}\) o parametrach \(\displaystyle{ \mu=0, \sigma=2}\), a \(\displaystyle{ f_2 \left( x \right)}\) gęstością rozkładu jednostajnego na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,5 \right]}\). Wyznaczyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ EX}\) oraz wariancję \(\displaystyle{ VarX}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).

3. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny o parametrach \(\displaystyle{ \mu=0, \sigma=2.5}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P \left( 4X^{2} < 3X + X^{3} \right)}\).

[miodzio1988]

W czwartek egzamin/kolos? ;]

2. Z definicji co to jest wartosc oczekiwana? Jak mamy gestosc

[pdobrzan]

Dla \(\displaystyle{ f_1(x)}\) wartosc oczekiwana to zero, a dla \(\displaystyle{ f_2(x)}\) to \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\). Wystarczy policzyc \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}= \frac{5}{3}}\) ?

Tak, w czwartek kolo

[miodzio1988]

zgadza się.

Jakie są dalsze problemy? Tak konkretnie

[pdobrzan]

W 3. doszedlem do \(\displaystyle{ P(X(X-3)(X-1)>0)}\). Co dalej?

edit:

\(\displaystyle{ X(X-1)(X-3)>0 \Leftrightarrow X \in (0,1) \cup (3, \infty)}\)
\(\displaystyle{ P(0<X<1) + P(X>3)}\)
teraz wziac pod uwage odchylenie standardowe i wartosc oczekiwana, co da
\(\displaystyle{ P(0<Y<0,4) + P(Y>1,2)}\) i po wstawieniu wartosci z tablicy rozkladu normalnego mam wynik \(\displaystyle{ 0,27}\). Moze tak byc?

[norwimaj]

1. Wystarczy wiedzieć, co to jest rozkład Poissona (ale nie wzór, tylko skąd ten rozkład się bierze).

3. Dokładnie nie sprawdzałem, ale chyba dobrze.

[pdobrzan]

Zostalo jeszcze jedno:
W urnie znajduje się \(\displaystyle{ N}\) białych i \(\displaystyle{ M}\) czarnych kul. Jedna kula o nieznanym kolorze została z urny usunięta. Wylosowano z urny \(\displaystyle{ 2}\) kule(po utraceniu jednej kuli o nieznanym kolorze) i stwierdzono, że wylosowane \(\displaystyle{ 2}\) kule są kulami białymi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że utracona kula była także kulą białą?

Zakladam, ze \(\displaystyle{ P(A)}\) to prawdopodobieństwo wylosowania bialej kuli na samym poczatku.
\(\displaystyle{ P(B)}\) to prawdopodobieństwo wylosowania dwoch bialych kul, kiedy w urnie bylo juz \(\displaystyle{ M+N-1}\) kul.
Szukana jest \(\displaystyle{ P(A|B)}\).

\(\displaystyle{ P(A)}\) to bedzie \(\displaystyle{ \frac{N}{M+N}}\).
Jak dalej to liczyc?

[norwimaj]

Ja bym najpierw zrobił drugie i trzecie losowanie, a potem pierwsze. Skoro w drugim i trzecim wylosowano dwie białe kule, to zostało \(\displaystyle{ N-2}\) białych i \(\displaystyle{ M}\) czarnych, więc prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania białej w pierwszym losowaniu to \(\displaystyle{ \frac{N-2}{N-2+M}}\).