ZL X ma rozkład gęstości

[harryy1]

Cześć piszę, bo znowu jestem w kropce. Dostałem do zrobienia kilka zadań z prawdopodobieństwa, a że niestety ostatni raz prawdopodobieństwem i ogólnie matematyką zajmowałem się spory czas temu mam ogromne luki w pamięci. Mniejsza z tym poniżej przedstawię dwa zadania z którymi mam malutki problem(czytaj naprawdę malutki problem). Oto one:
1. ZL X ma rozkład gęstości
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases}
x \ dla \ 0 \le x < 1 \\
2 - x \ dla 1 \le x < 2 \\
0 \ dla pozostałych \ x \end{cases}}\)
a) naszkicuj wykres gęstości
b) wyznacz i naszkicuj dystrubuantę tego rozkładu
c) odczytaj z wykresów wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(X\in\left\langle 1, 2\right\rangle)}\)
d) wyznacz kwantyle \(\displaystyle{ x _{ \frac{1}{2} }}\) oraz \(\displaystyle{ x _{ \frac{1}{6} }}\)

2. Dana jest funkcja prawdopodobieńśtwa ZL X:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases}
x \ dla \ x < 0 \\
6x(1-x) \ dla \ 0 \le x \le 2 \\
0 \ dla \ x>1 \end{cases}}\)
a) wyznaczyć dystrybuantę tej ZL
b) Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\) oraz \(\displaystyle{ D ^{2}X}\)
c) obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} \le X \le \frac{3}{4} )}\) i zaznaczyć jego wartość na wykresach gęstości i dystrybuanty.

Wiem banalne zadania, ale tak jak wspomniałem dawno nie bawiłem się matematyką, a niestety nie znalazłem tego w notatkach ze studiów. Poniżej rozpiszę to co zrobiłem:
1
a)z wykresem będzie problem bo nie mam jak go narysować, chyba, że macie jakiś fajny program do tego typu zadań.Ale wydaje się być prosty
b)Tutaj proszę o wyrozumiałość, bo dawno już nie liczyłem całek
\(\displaystyle{ x<1 \ F(x) = 0}\)
\(\displaystyle{ 1 \le x<2 \ F(x) = \int_{-\infty}^{\infty}(t)dt = \int_{x}^{1}2-t dt = \left\frac{2-t^2}{2}\right|^{x}_{1}=1- \frac{x^2}{2}}\)
c)z moich wyliczeń wynika, że dystrybuantą jest parabola skierowana w dół, która w punkcie x=1 przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i tutaj też mam problem, bo z wyliczeń, tj. licząc całkę z granicami 1,2 i podejrzewam, że źle liczę całkę, bo wychodzi mi wartość ujemna, chyba, że po prostu nie muszę niczego liczyć. Niestety nie wiem...
d) a co do liczenia kwantyli jeśli dobrze obliczyłem dystrybuantę to:
dla pierwszego przypadku: \(\displaystyle{ F(x_{ \frac{1}{2} })= \frac{1}{2} \\
1- \frac{x^2}{2}= \frac{1}{2} \\
x^2=1 \\
x= \sqrt{1} = 1}\) dla drugiego przypadku: \(\displaystyle{ F(x_{ \frac{1}{6} })= \frac{1}{6} \\
1- \frac{x^2}{2}= \frac{1}{6} \\
x^2= \frac{10}{6} \\
x= \sqrt{ \frac{10}{6} }}\)

Na razie proszę o pomoc chociaż w tym zadaniu. Przyjmę krytykę ;p. Jeśli uporam się z tym zadaniem to rozpiszę kolejne;)

[lukaszm89]

\(\displaystyle{ \int2-xdx= -\frac{(2-x)^2}{2}+c}\).
Jeśli chcesz sprawdzać całki, możesz tutaj: wolframalpha.com , wykresy też rysuje, tylko musisz mieć jakiś dostęp pro-chyba darmowy na 2 tygodnie. Dystrybuanta zawsze jest niemalejąca, a jeśli zmienna losowa ma gęstość, to jest ciągła.

[harryy1]

Hmm...trochę zacząłem się już plątać, bo widzę, że do tej pory trochę źle myślałem i trochę pochopnie do tego podszedłem i nie zauważyłem kilku drobnych rzeczy.
Może pokażę to jak wyliczyłem dystrybuantę, a następnie jeśli będzie dobrze to zrobię dalszą część zadania, a więc:

\(\displaystyle{ dla \ x \ <0 \ F(x)=0\\ \\
dla \ 0 \le x<1 \ F(x)= \int_{- \infty }^{0}0dt + \int_{0}^{x}tdt= \frac{x^2}{2}\\ \\
dla \ 1 \le x<2 \ F(x)=\int_{- \infty }^{0}0dt + \int_{0}^{1}tdt+ \int_{1}^{x}2-tdt=\frac{1}{2}+\left(\left-\frac{(2-t)^2}{2}\right|^{x}_{1}\right)=\frac{1}{2}+\left(-\frac{(2-x)^2}{2}+ \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}- \frac{x^2-4x-3}{2}= \frac{x^2-4x-2}{2}}\)

Proszę o sprawdzenie moich wyliczeń. Jest wysoce prawdopodobne, że popełniłem błąd w obliczeniach, bo troszeczkę wyszedłem z wprawy. Niby wykres nie jest malejący, ale nie wiem czy jest dobry, bo przy x= 1 i 2 przyjmuje wartości ujemne. Czego nie rozumiem?!

[lukaszm89]

+2 w mianowniku, ma być ciągła, więc zawsze sprawdzaj na krańcach przedziałów(jeśli ma gęstość)
Jak mowiłem, same całki możesz liczyć na tej stronie: , natomiast idea jest dobra:)

[harryy1]

Co do obliczenia całki to oczywiście znalazłem błąd w tym co napisałem, ale po uproszczeniu dystrybuanta ma następujący wzór: \(\displaystyle{ \frac{4x-3}{2}}\). Dzięki za podanie stronki, na pewno się przyda;) Chociaż trzeba się rejestrować. Nom ale wracając, zakładając, że mam już dobrze wyliczoną całkę to wychodzi mi, że wykresem funkcji jest prosta rosnąca.Po naniesieniu na wykres w punkcie x=1, y=1/2 przecina się z parabolą (czyli jest ciągła) i tak do x=2, a dalej przyjmuje wartości 0. Więc myślę, że wykres też mam dobrze. Tylko co z podpunktem c? mam odczytać z wykresu wartość prawdopodobieństwa na przedziale<1,2>. Ile ono wyniesie? Mam liczyć całkę oznaczoną z granicami 1 i 2 dla funkcji danej w tym przedziale, czy jak? A co do kwantyli to liczę dla dystrybuanty na każdym przedziale czy tylko dla funkcji, która mi wyszła z obliczeń całki?

[lukaszm89]

ale co po uproszczeniu?masz tam parabolę, ciężko uprościć

[harryy1]

No własnie nie,bo wyszła mi prosta. Piszą "uproszczenie" miałem na myśli zsumowanie tych całek. Niestety dla przedziału \(\displaystyle{ 1 \le x<2}\) suma tych całek nie da paraboli tylko prostą. Calki liczył program, dlatego chyba powinno być dobrze. Może problemem jest to, że nie do końca zrozumiałem wszystko. Zrobiłem to tak, że dla każdego z tych przedziałów, które mam liczyłem całki(we wcześniejszym poście napisałem jakie to całki) i z tego co wyszło mi z wyliczeń tych całek na przedziałach rysowałem dystrybuantę. Parabola wyszła mi na przedziale \(\displaystyle{ 0 \le x<1}\) i taka narysowałem, a drugi przedział to suma całek i z których niestety nie wyszła parabola tylko prosta o wzorze \(\displaystyle{ \frac{4x-3}{2}}\).Jednak na tym przedziale funkcja przyjmuje w dolnej granicy przedziału(czyli 1)taką wartość jak parabola w górnej granicy porpzedniego przedziału(tj.1). Także wydaje mi się to możliwe. Jeśli coś mówię nie tak to odrazu mnie poprawiaj(zniosę nawet największa krytykę;p) a jak nie to łopatologicznie proszę!!!:)

PS. A tak na marginesie, może Cie zainteresuje. Spróbuj programu Maxima, może znasz. Prosty i co najwazniejsze darmowy program, do typowych zadań matematycznych. Rozwiązuje całki pochodne i nie tylko, łącznie z mozliwością rospisania kolejnych kroków obliczeń jak równiez uproszczeń. wykresy tez rysuje, nawet w trójwymiarze;) Może sie przyda...bez problemu ściągniesz to z neta. Ja dzisiaj pogrzebałem w swoich materiałach i znalazłem pliki do niego i tak mi się przypomniało

[lukaszm89]

Nie rozumiem sumowania, strasznie Ci się miesza wszystko, poprawy wzór na dystrubuantę podałeś w poście wyżej:
\(\displaystyle{ dla \ x \ <0 \ F(x)=0\\ \\ dla \ 0 \le x<1 \ F(x)= \int_{- \infty }^{0}0dt + \int_{0}^{x}tdt= \frac{x^2}{2}\\ \\ dla \ 1 \le x<2 \ F(x)=\int_{- \infty }^{0}0dt + \int_{0}^{1}tdt+ \int_{1}^{x}2-tdt=\frac{1}{2}+\left(\left-\frac{(2-t)^2}{2}\right|^{x}_{1}\right)=\frac{1}{2}+\left(-\frac{(2-x)^2}{2}+ \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}- \frac{x^2-4x-3}{2}= \frac{x^2-4x-2}{2}}\)

Zobacz jakliczyłeś dla punktów z przedziału \(\displaystyle{ [1,2]}\), nie mam pojęcia skąd Ci się wzięło dodawanie potem zmiennej x w górnej granicy.

[harryy1]

Sory, troche namieszałem...musisz mi wybaczyć mam teraz nocne zmiany i tak średnio mi idzie myślenie, dlatego też tak późno odpisuje. Co do tego co pisalem wcześniej o tej prostej muszę jeszcze raz sprawdzić te wyliczenia w programi, bo nie wiem co zrobiłem, ale w programie jak wyliczyłem te całki dla przedziału [1,2] to właśnie wyszła mi prosta...może źle podałem, którys parametr, sprawdzę to. Sugerowałem się wynikiem z programu, bo nie sądziełem, że moje moze byc dobrze wyliczone. Jeśli moje wyliczenia są dobre to faktycznie jest to parabola. Ale w takim razie nie wiem jak dorysować ten wykres. Ja sprawdzę jeszcze raz te wyliczenia i narysuje wykres i może jakoś mi się uda go umieścić na jakimś serwerze to będzie jakoś jaśniej, bo faktycznie moje opisy mogły zrobić zamieszanie.
I żeby było zadość to jeszcze muszę obliczyć przedział dla x>2?
\(\displaystyle{ dla \ x>2 \ F(x)=\int_{- \infty }^{0}0dt + \int_{0}^{1}tdt+ \int_{1}^{2}2-tdt+ \int_{2}^{ \infty }0dt}\)


A z tą zmienną x w górnej granicy to o co dokładniej Ci chodzi?
Wiem troche głupie pytanie, ale nie śpię już od jakiś 40h.

[lukaszm89]

\(\displaystyle{ dla \ x>2 \ F(x)=\int_{- \infty }^{0}0dt + \int_{0}^{1}tdt+ \int_{1}^{2}2-tdt+ \int_{2}^{ x}0dt}\)