Niech \(\displaystyle{ \left\{ N_t : t \geq 0 \right\}}\) będzie standardowym procesem Poissona o intensywności \(\displaystyle{ \lambda >0}\)
Oblicz
\(\displaystyle{ P(N_1=2,N_4=5)=P(N_1=2,N_4-N_1=3)=P(N_1=2)\cdot P(N_4-N_1=3)= \\ =P(N_1=2)\cdot P(N_3=3)=\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot \frac{(3\cdot\lambda)^3}{3!}\cdot e^{-3\lambda}}\)
Dobrze? Najpierw niezależność przyrostów a później jednorodność.
Oblicz wariancję \(\displaystyle{ Y=2N_1+3N_2}\)
Mogę zrobić tak? Najpierw nic mądrego, dodaję 0. A później korzystam z tego, że \(\displaystyle{ N_2-N_1}\) i \(\displaystyle{ N_1}\) są niezależne. Później jednorodność.
\(\displaystyle{ Var(2N_1+3N_2)=Var(2N_1+3N_2-3N_1+3N_1)=Var(3(N_2-N_1)+5N_1)=Var(3(N_2-N_1))+Var(5N_1)=9VarN_1+25VarN_1=34VarN_1=34\lambda}\)
