Jeśli rozkład łączny ciągły, to rozkłady brzegowe ciągłe.

[tometomek91]

Jeśli rozkład łączny jest ciągły, to rozkłady brzegowe też są ciągłe. Pokazać, że odwrotna implikacja nie zachodzi.

[Jacek_Karwatka]

Rozkład typu "szachownica" (czarne pola jednostajny, białe zero) na pewno nie jest ciągły, mimo to jego rozkłady brzegowe są ciągłe.

[tometomek91]

A czy mógłbym prosić o formalne uzasadnienie tego, że łączny nie jest ciągły a brzegowe są? Z góry dziękuję.

[Jacek_Karwatka]

Weźmy dwie zmienne losowych na kwadracie \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\) których gęstość rozkładu jest opisana funkcją:

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases}
2 \ dla \ (x>0.5 \wedge y>0.5) \vee (x<0.5 \wedge y<0.5) \\
1 \ dla \ x=0.5 \vee y=0.5\\
0 \ dla \ (x>0.5 \wedge y<0.5) \vee (x<0.5 \wedge y>0.5)
\end{cases}}\)

jest chyba jasne że funkcja opisująca łączny rozkład prawdopodobieństwa tych zmiennych nie jest ciągła.

policzmy rozkład brzegowy x:

\(\displaystyle{ f(x)= \int_{0}^{1} f(x,y)dy=
\begin{cases}
\int_{0}^{0.5}2dy+ \int_{0.5}^{0.5}1dy+ \int_{0.5}^{1}0dy=1 \ dla \ x<0.5 \\
\int_{0}^{1}1dy=1 \ dla \ x=0.5 \\
\int_{0}^{0.5}0dy+ \int_{0.5}^{0.5}1dy+ \int_{0.5}^{1}2dy=1 \ dla \ x>0.5 \\
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \int_{0}^{1} f(x,y)dy=1}\)

Widać że wartość gęstości rozkładu brzegowego zmiennej x jest stała a wiec i ciągła (na zadanym obszarze).
Podobnie jest dla y.

[tometomek91]

Bardzo dziękuję!