\(\displaystyle{ \left\{ W_t : t\geq 0\right\}}\) jest ośrodkowym procesem Wienera.
a) Oblicz \(\displaystyle{ P(W_1>0,W_2>0)}\)
\(\displaystyle{ P(W_1>0,W_2>0)=P(W_1>0,(W_2-W_1)+W_1>0)= \int_{0}^{ \infty } \int_{-x}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{-x^2/2} \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{-y^2/2} \mbox{d}y \mbox{d}x = \frac{3}{8}}\)
Dobrze?
b) Dla \(\displaystyle{ a>0}\) oblicz:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} P\left( \left| \frac{W_{t+h}-W_t}{h} \right| < a \right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} P\left( \left| \frac{W_{t+h}-W_t}{h} \right| < a \right) =\lim_{h \to 0} P\left( \left| \frac{W_{h}}{h} \right| < a \right)=\lim_{h \to 0} P\left( \left| W_{h} \right| < a \left| h\right| \right)}\) i co dalej? Przy przejściu do granicy \(\displaystyle{ P(W_0<0)=0}\) czy może stwierdzić, że \(\displaystyle{ \frac{W_h}{h} \sim N(0,1)}\) więc odpowiedź to \(\displaystyle{ \Phi (a)}\) ?
c) Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ T_a,a>0}\), opisującej moment pierwszego przekroczenia poziomu \(\displaystyle{ a}\) przez proces Wienera.
Pewnie trzeba jakoś skorzystać z zasady odbicia.
\(\displaystyle{ P(T_a=t)=P(W_t>a,\forall \ 0\leq s \leq t \ W_s \leq a)=P(W_t>a,sup_{0\leq s \leq t} \ W_s \leq a)=}\)
\(\displaystyle{ P(W_t-W_s>0,sup_{0\leq s \leq t} \ W_s \leq a)=P(W_t-W_s>0)\cdot P(sup_{0\leq s \leq t} \ W_s \leq a)=P(W_{t-s}>0)\cdot (1-P(sup_{0\leq s \leq t} \ W_s > a))=}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot (1-2\cdot P(W_t>a)=\frac{1}{2}-P(\frac{W_t}{t}<\frac{a}{t})=\Phi(\frac{a}{t})-\frac{1}{2}}\)
Dobrze?
Ośrodkowy proces Wienera
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Ośrodkowy proces Wienera
a) Wynik jest dobry.
b) Odpowiedź to \(\displaystyle{ \Phi(a) - \Phi(-a)}\), wszak jest tam wartość bezwzględna.
c) Korzystając z martyngału \(\displaystyle{ \exp(\lambda W_{t} - \frac{1}{2} \lambda^{2} t)}\) oraz twierdzenia Dooba, można wyliczyć transformatę Laplace'a rozkładu pierwszego momentu przekroczenia poziomu \(\displaystyle{ a}\), a stąd już można wyciągnąć wzór na gęstość. Zdaje się, że ta zmienna jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)-stabilna, a jej rozkład nazywa się rozkładem Levy'ego, więc to powinno być do odnalezienia w sieci.
b) Odpowiedź to \(\displaystyle{ \Phi(a) - \Phi(-a)}\), wszak jest tam wartość bezwzględna.
c) Korzystając z martyngału \(\displaystyle{ \exp(\lambda W_{t} - \frac{1}{2} \lambda^{2} t)}\) oraz twierdzenia Dooba, można wyliczyć transformatę Laplace'a rozkładu pierwszego momentu przekroczenia poziomu \(\displaystyle{ a}\), a stąd już można wyciągnąć wzór na gęstość. Zdaje się, że ta zmienna jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)-stabilna, a jej rozkład nazywa się rozkładem Levy'ego, więc to powinno być do odnalezienia w sieci.