Rachunek prawdopodobieństwa

[michal2438]

Witam! Mam problem z tymi zadaniami, mógłby mi ktoś pomóc w ich rozwiązaniu. Czekam na wasze propozycje

1.Na strzelnicy jest pięć karabinów. Prawdopodobieństwo trafienia do celu gdy się strzela z tych , karabinów są odpowiednio równe \(\displaystyle{ 0,5, \ 0,6, \ 0,7, \ 0,8, \ 0,4.}\) Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia do celu przy jednym strzale jeżeli strzelec bierze jeden z karabinów na chybił trafił.
2.Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) dla której \(\displaystyle{ P(X=x _{k})=p _{k}}\) ma rozkład podany w tabeli:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_k & 1 & 2 & 3 & 4 & 4.5 \\ \hline p_k & 0.2 & 0.4 & 0.3 & \alpha & \alpha \\ \hline \end{tabular}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) i wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).Obliczyć \(\displaystyle{ P(X<1)}\) i \(\displaystyle{ P(1<X<4)}\)
3.W pewnym eksperymencie chemicznym bada sie ilość czystej substancji wydzielającej się w toku doświadczenia. Przeprowadzono \(\displaystyle{ n=18}\) niezależnych doświadczeń i otrzymano w nich następujące wyniki (w \(\displaystyle{ mg}\)):\(\displaystyle{ 285, \ 339, \ 439, \ 243, \ 332, \ 456, \ 275, \ 452, \ 310, \ 461, \ 299, \ 239, \ 304, \ 392, \ 208, \ 400, \ 300, \ 402.}\) Przyjmując rozkład ilości wydzielonej substancji za normalny z odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ 90 mg}\) oszacować za pomocą przedziału ufności ze współczynnikiem ufności \(\displaystyle{ 0,999}\) średnią ilość wydzielonej w tym doświadczeniu czystej substancji.
4. Z losowej próby o liczebności \(\displaystyle{ n=12}\) partii gotowych wyrobów otrzymano w pewnym zakładzie współczynnik korelacji \(\displaystyle{ r=0,4}\) między wielkością partii a wadliwą (procent braków). Na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha =0,10}\) zweryfikować hipotezę o braku korelacji między wielkością produkowanych w tym zakładzie partii gotowych wyrobów a ich wadliwością.

[Forte]

Pierwsze to klasyczne drzewko-- 8 cze 2012, o 20:33 --w Drugim wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do jedynki. A jak poszukasz to znajdziesz jak sie wyznacza dystrybuante rozkładu skokowego. Zwróć uwagę na to, że zmienna losowa nie przyjmuje wartości mniejszych od jedynki, a wartości z przedziału od dwóch do cztereech, to są tylko dwie, \(\displaystyle{ X=3}\) oraz\(\displaystyle{ X=2}\)

[kieubass]

Jeśli chodzi o drzewko to może pomogę jakby coś
Pierwszą gałąź drzewka stanowi wybór karabinu, jest ich \(\displaystyle{ 5}\) więc tu przy gałęziach prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\). Teraz druga seria gałęzi: prawdopodobieństwo trafienia masz podane więc prawdopodobieństwo nietrafienia równa się \(\displaystyle{ 1-p}\). I teraz wszystko na jednym ramieniu mnożysz a poszczególne ramiona dodajesz, \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \cdot 0,5 + \frac{1}{5} \cdot 0,6 +\frac{1}{5} \cdot 0,7 + \frac{1}{5} \cdot 0,8 + \frac{1}{5} \cdot 0,4}\) i masz gotowe

W drugim tak jak powiedział Forte to wszystko musi się sumować do jedynki zatem leci trywialne równanie \(\displaystyle{ 0,2 + 0,4 + 0,3 + 2 \alpha =1 \Rightarrow \alpha =0,05}\)
Co do dystrybuanty to nie wiem jak miałeś ją definiowaną czy prawostronnie czy lewostronnie ciągłą, bo u mnie w Łodzi jest prawostronnie ciągła ale niedawno podobno w Polsce było inaczej
Więc teraz z tabelki rysujesz wykres. Tu mamy rozkład dyskretny więc wykresem będą takie schodki więc
\(\displaystyle{ F _{X} = left{egin{array}{l} 0 x in left( - infty ,1
ight) \0,2 x in left[ 1,2
ight) \0,6 x in left[ 2,3
ight) \ 0,9 x in left[ 3,4
ight) \ 0,95 x in left[ 4, 4,5
ight) \ 1 x in left[ 4,5 , infty
ight)end{array}}\)
Skąd liczby \(\displaystyle{ 0,6 ; 0,9 ; 0,95}\)? A no stąd że dystrybuanta to funkcja niemalejąca więc kolejne liczby do siebie dodajesz, następny schodek po prostu nie może być niżej od poprzedniego

I teraz końcówka zadania \(\displaystyle{ P\left( X<1\right)}\) i tu z rysunku bardzo dobrze widać że \(\displaystyle{ P\left( X<1\right) =0}\) ponieważ poniżej jedynki mamy funkcję stałą równą \(\displaystyle{ 0}\) i to jest właśnie to prawdopodobieństwo
Z kolei \(\displaystyle{ P\left( 1<X<4\right)}\) to tu już trzeba trochę pomyśleć bo wyobraź sobie że z tych przedziałów sobie losujesz coś tam i ile wyszło tych przedziałów? są trzy przedziały więc wylosujesz jeden z nich z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i każdą z tych wartości mnożysz przez właśnie tyle. Zatem \(\displaystyle{ P\left( 1<X<4\right)=\frac{1}{3} \cdot 0,2 + \frac{1}{3} \cdot 0,6 + \frac{1}{3} \cdot 0,9 \approx 0,56\left( 6\right)}\)

z resztą zadań niestety nie pomogę bo takich nie miałem ;D
Pozdrawiam i mam nadzieję że pomogłem

[Forte]

Wszystko ok, tylko brakuje, słowa dla, albo jakiegoś przecinka po liczbie a przed \(\displaystyle{ x}\)
Dystrybuanta wygląda tak, jak podałeś, tylko proponuje

\(\displaystyle{ F _{X} = left{egin{array}{l} 0 dla x in left( - infty ,1
ight) \0,2 dla x in left[ 1,2
ight) \0,6 dla x in left[ 2,3
ight) \ 0,9 dla x in left[ 3,4
ight) \ 0,95 dla x in left[ 4, 4,5
ight) \ 1 dla x in left[ 4,5 , infty
ight)end{array}}\)

[kieubass]

no tak faktycznie powinno się to tam znaleźć żeby było wszystko przejrzyście, niech będzie że pora była późna ;D

[michal2438]

dzieki bardzo