Proces Poissona

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

Proces Poissona

Post autor: silvaran »

Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_t: t\geq 0\right\}}\) będzie procesem Poissona o intensywności \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ s,t,h\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ t\leq t+h \leq s}\). Oblicz \(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k|X_s=n)}\)

Rozpisuje warunkowanie:
\(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k|X_s=n)=\frac{P(X_{t+h}-X_t=k,X_s=n)}{P(X_s=n)}}\)
czy mogę teraz skorzystać z jednorodności procesu Poissona i zapisać:
\(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k,X_s=n)=P(X_{h}=k,X_s=n)}\) ?
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

Proces Poissona

Post autor: Jacek_Karwatka »

raczej:
\(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k,X_s=n)=P(X_{h}=k,X_{s-t}=n)}\)

ps
W procesie Poissona zmienne \(\displaystyle{ X_{t+h}-X_t,X_s}\) nie są niezależne. Ale zmienne \(\displaystyle{ X_{t+h}-X_t,X_s-X_{t+h}}\) już są niezależne

\(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k,X_s=n)=P(X_{t+h}-X_t=k,X_s-X_{t+h}=n-k)=P(X_{t+h}-X_t=k)P(X_s-X_{t+h}=n-k)=P(X_{h}=k)P(X_{s-(t+h)}=n-k)}\)
Awatar użytkownika
elbargetni
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 189
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Proces Poissona

Post autor: elbargetni »

Odświeżam stary temat, bo nie rozumiem jednego przejścia, mianowicie:
\(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k,X_s=n)=P(X_{t+h}-X_t=k,X_s-X_{t+h}=n-k)}\)

Czy ono jest na pewno poprawne?
ODPOWIEDZ