Gra sprawiedliwa z kulkami i urnami

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Gra sprawiedliwa z kulkami i urnami

Post autor: fon_nojman »

Gracz \(\displaystyle{ A}\) losuje jedną kulę z urny zawierającej kule ponumerowane od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 18,}\) gracz \(\displaystyle{ B}\) z urny zawierającej kule z numerami \(\displaystyle{ 1,2,3,32.}\) Wygrywa ten który wylosuje większą liczbę. Którym graczem chcesz zostać?

Mam dwa rozwiązania i dwa różne wyniki.

I:

Zdarzeniami elementarnymi są pary \(\displaystyle{ (x_A,x_B)}\) gdzie współrzędne to odpowiednie liczby \(\displaystyle{ 1,\ldots ,18}\) i \(\displaystyle{ 1,2,3,32.}\) Czyli w sumie \(\displaystyle{ 18\cdot 4=72}\) równo prawdopodobnych zdarzeń. Prawdopodobieństwo wygranej \(\displaystyle{ B,}\) to \(\displaystyle{ P(B)=\frac{18+1+2}{72}=\frac{7}{24}.}\) Remisu to \(\displaystyle{ P(R)=\frac{1}{24},}\) wygranej \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{8}{24}=\frac{2}{3}.}\) \(\displaystyle{ \ P(A)>P(B)}\) czyli lepiej zostać graczem \(\displaystyle{ A.}\)

II:

Policzymy wartości oczekiwane dla obydwu graczy.

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_A=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}+\ldots +\frac{18}{18}=\frac{19}{2}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_B=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{32}{4}=\frac{19}{2}}\)

czyli gracze mają równe szanse.

Dlaczego wychodzą dwie różne odpowiedzi? Może gdzieś robię błąd?
Ostatnio zmieniony 6 cze 2012, o 12:29 przez fon_nojman, łącznie zmieniany 3 razy.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Gra sprawiedliwa z kulkami i urnami

Post autor: piasek101 »

fon_nojman pisze:Gracz \(\displaystyle{ A}\) losuje jedną kulę z urny zawierającej kule ponumerowane od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 18,}\) gracz \(\displaystyle{ B}\) z urny zawierającej kule z numerami \(\displaystyle{ 1,2,3,32.}\) Którym graczem chcesz zostać?
Którym się zechce - bo warunków wygrania nie podałeś.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Gra sprawiedliwa z kulkami i urnami

Post autor: fon_nojman »

Dzięki za uwagę, już poprawione.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Gra sprawiedliwa z kulkami i urnami

Post autor: piasek101 »

Wartość oczekiwana nie ma tu zastosowania, bo chodzi tylko o większa czy mniejsza (a nie interesuje nas o ile) - daj temu drugiemu zamiast 32 np 2000; szansy wygrania mu nie zwiększysz, chociaż wartość oczekiwaną tak.

Ps.W (I) pomyliłeś graczy.
ODPOWIEDZ