Prawdopodobieństwo przy zadanej wartości oczekiwanej.

[be-girl222]

Zmienne losowe X i Y mają rozkład łączny o gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} x \cdot e^{(x(y-x))} , y>x, 0 \le x \le 1\\ 0, w przeciwnym wypadku \end{cases}}\)


Jeżeli \(\displaystyle{ a(X)=E(Y|X)}\) ile wynosi \(\displaystyle{ P(Y> a (X))}\) ?


Obliczyłam rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y|X}\) jako: \(\displaystyle{ \frac{f(x,y)}{f(x)}}\) , gdzie f(x) to rozkład brzegowy zmiennej X, jest on jednostajny na przedziale (0,1).

Chcąc obliczyć wartość oczekiwaną napotykam na problem, ponieważ \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^2 e ^{(x(y-x))} dx}\)nie istnieje, a domyślam się , że musimy policzyć tą calkę względem x, ponieważ miara\(\displaystyle{ a}\)zadana jest względem zmiennej X. Gdzie tkwi błąd?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} x \cdot e^{(x(y-x))} , y>x, 0 \le x \le 1\\ 0, w przeciwnym wypadku \end{cases}}\)

To na pewno tak miało być? Z takim nieograniczonym obszarem?

[be-girl222]

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} x \cdot e^{(x(y-x))} , y>x, 0 \le x \le 1\\ 0, w przeciwnym wypadku \end{cases}}\)

To na pewno tak miało być? Z takim nieograniczonym obszarem?

Błąd jest w funkcji gęstości, powinno być :
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} x \cdot e^{(-x(y-x))} , y>x, 0 \le x \le 1\\ 0, w przeciwnym wypadku \end{cases}}\)

W wykładniku potęgi powinno być -x(y-x). Przedział jest dobry.

[norwimaj]

No dobrze, teraz się zgadza.

a domyślam się , że musimy policzyć tą calkę względem x,

A liczysz wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ X}\) czy \(\displaystyle{ Y}\)?

ponieważ miara\(\displaystyle{ a}\)zadana jest względem zmiennej X.

To kolejny argument za tym, żeby nie pozbywać się zmiennej \(\displaystyle{ X}\), tylko \(\displaystyle{ Y}\).

[be-girl222]

Rozumiem, gdy całkuję względem y to wychodzi dobry wynik.
Czyli zawsze przy prawdopodobieństwie warunkowym \(\displaystyle{ P(A|B)}\) wartość oczekiwaną liczymy dla zmiennej A ?