Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) podlega rozkładowi według gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\). Znaleźć gęstość \(\displaystyle{ f_{1} y}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=g(x)}\), jeśli \(\displaystyle{ g(x)= x^{3}}\)
pochodna \(\displaystyle{ g(x)=2x}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{y}}\)
Po podstawieniu do wzorów wyliczyłem:
\(\displaystyle{ \frac{f( \sqrt[3]{y}) }{3 \sqrt[3]{y ^{2} } }}\)
Niestety w odpowiedziach jest następujący wynik:
\(\displaystyle{ \frac{f( y) }{3 \sqrt[3]{y ^{2} } }}\)
Niestety nie rozumiem dlaczego?
Znaleźć gęstość zmiennej losowej
-
mapeciatko
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 3 mar 2012, o 16:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 6 razy
Znaleźć gęstość zmiennej losowej
Ostatnio zmieniony 5 cze 2012, o 16:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
brzoskwinka1
Znaleźć gęstość zmiennej losowej
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ F_X , F_Y}\) dystrybuanty zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) odpowiednio zaś przez \(\displaystyle{ g_X , g_Y}\) funkcję gęstości tych zmiennych losowych.
Mamy:
\(\displaystyle{ F_Y (t) =P(\{ \omega\in\Omega : Y(\omega )<t\} ) =P(\{ \omega\in\Omega : (X(\omega ))^3 <t\} ) =P(\{ \omega\in\Omega : X(\omega )<\sqrt[3]{t}\} ) =F_X (\sqrt[3]{t} ) .}\)
Zatem
\(\displaystyle{ g_Y (t) =F'_Y (t) =(F_X (\sqrt[3]{t} ) )' =F'_X (\sqrt[3]{t} ) \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} =\frac{g_X (\sqrt[3]{t} )}{3\sqrt[3]{t^2}}.}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ F_Y (t) =P(\{ \omega\in\Omega : Y(\omega )<t\} ) =P(\{ \omega\in\Omega : (X(\omega ))^3 <t\} ) =P(\{ \omega\in\Omega : X(\omega )<\sqrt[3]{t}\} ) =F_X (\sqrt[3]{t} ) .}\)
Zatem
\(\displaystyle{ g_Y (t) =F'_Y (t) =(F_X (\sqrt[3]{t} ) )' =F'_X (\sqrt[3]{t} ) \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} =\frac{g_X (\sqrt[3]{t} )}{3\sqrt[3]{t^2}}.}\)