Mocne prawo wielkich liczb, rozkłąd wykładniczy

[Fredi]

ZAD.
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (X_{n})_{n \ge 1}}\) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zmienna \(\displaystyle{ X_{n}}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ ln(n+1)}\). Rozstrzygnąć, czy ciąg: \(\displaystyle{ \frac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}, n=1,2,...}\) jest zbieżny prawie na pewno. Jeśli tak, to wyznaczyć jego granicę.

Przypuszczam, że będzie trzeba zastosować jakoś mocne prawo wielkich liczb, z tym, że zmienne \(\displaystyle{ X_{n}}\) nie są zmiennymi o tym samym rozkładzie, więc mój pomysł jest taki, aby stworzyć nowy ciąg zmiennych (skonstruowany jakoś z ciągu \(\displaystyle{ X_{n}}\)) aby zmienne te miały ten sam rozkład, niestety póki co jakoś nic mi z tego nie wyszło.

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[brzoskwinka1]

Zmienne \(\displaystyle{ Y_n =X_n\cdot \ln (n+1)}\) mają rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\) i są niezależne.