Oblicz prawdopodobieństwo korzystając z Poissona i CTG

[eclips_e]

W pudełku znajduję sie 81 urządzeń prawdopodobieństwo zepsucia się 1 wynosi 0.1. Oblicz jaka jest szansa że w pudełku znajduję się więcej niż 10 zepsutych.
a) Korzystając z rozkładu Poisonna
b) Korzystając z centralnego twierdzenia granicznego
c) Ile musiałoby być co najwyżej urzadzeń, żeby prawdopodobieństwo, że zepsuje się więcej niż 10 wynosiło nie więcej niż 0,1.

Czy ktoś mógłby pomóc w rozwiązaniu tego zadania z góry dziękuje.

[Forte]

a)
Po pierwsze zdajesz sobie sprawę, że masz rozkład Bernoullego,
\(\displaystyle{ P(X=k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\)
z parametrami \(\displaystyle{ p=0,1}\) ilość \(\displaystyle{ n=81}\) a ilość sukcesów \(\displaystyle{ k=11,12,13,...,81}\)
Więc wartość dokładną liczysz tak
\(\displaystyle{ P(X=11)= {81 \choose 11} 0,1^{11}0,9^{70}}\)
Ponieważ masz dużą ilość i małe prawdopodobieństwo możesz przybliżyć rozkładem Poissona
\(\displaystyle{ P(X=k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}\)
, gdzie \(\displaystyle{ \lamba=n\cdot p}\)
\(\displaystyle{ P(X=11)= {81 \choose 11} 0,1^{11}0,9^{70}=\frac{8,1^{11}}{11!}e^{-8,1}}\)
\(\displaystyle{ P(X=12)==\frac{8,1^{12}}{12!}e^{-8,1}}\)
idt
\(\displaystyle{ P(X=11)+P(X=12)+...+P(X=81)=1-P(X=0)-P(X=1)-...-P(X=10)}\)
i zamiast \(\displaystyle{ 70}\) liczysz tylko \(\displaystyle{ 11}\).

b) \(\displaystyle{ P\left(X\geq 11\right)=1-P\left(X< 11\right)}\)
A \(\displaystyle{ P\left(X< 11\right)}\) liczysz z CTG de Moivre’a-Laplace’a
Standaryzacja parametrami \(\displaystyle{ m=n\cdot p=8,1}\) \(\displaystyle{ \sigma=npq=7,29}\)
\(\displaystyle{ P\left(\frac{X-8,1}{7,29}< \frac{10-8,1}{7,29}\right)=}\)
\(\displaystyle{ P\left(\frac{X-8,1}{7,29}< 0,26\right)=\Phi(0,26)}\)