Rozkład Bernoulliego

[qwass]

Na 10 małżeństw w Zambii 7 jest nosicielem wirusa HIV. Wiedząc, że szansa przekazania przez rodzicow wirusa dziecku wynosi 3:4, obliczyc prawdopodobieńśtwo, że w małżęństwie z czwórką dzieci:
a) wszystkie będą zdrowe
b) wszystkie będą zarażone wirusem HIV.

Korzystam ze wzoru Bernoulliego i absolutnie nie zgadzają mi się wyniki z odpowiedziami więc byłbym wdzięczny jakby ktoś mógł rozwiązac dzięki czemu będę mógł znalezc swój błąd lub też zakwestionowac wynik z odpowiedzi.

Z góry dzięki.

[szw1710]

Pojedyncze doświadczenie jest dwuetapowe, do rozrysowania na drzewie. Umiesz policzyć, jakie jest prawdopodobieństwo posiadania HIV przez jedno tylko dziecko?

Dalej oczywiście schemat Bernoulli'ego.

[qwass]

Tak też robię (albo przynajmniej mi się wydaje że tak robię)

Prawdopodobieństwo, że wszystkie będą zarażone:
\(\displaystyle{ 0,7 \cdot {4 \choose 4} (0,75)^4 = 0,22}\)

Analogicznie, że żadnego nie będzie zarażone.

A w odpowiedziach są odpowiednio wyniki 0,3164 i 0,0039.

[szw1710]

Więc rzeczywiście Ci się wydaje. Zrób pierwszą część zadania, z tym drzewem i opisz dlaczego jest tak a tak. Oczywiście odnoszę się do swojego poprzedniego posta.

Uszczegółowię nieco: na razie nie mamy czterech dzieci, ale tylko jedno. I policz prawdopodobieństwo zarażenia dla tylko jednego dziecka. To jest pojedyncze doświadczenie w schemacie iluś prób Bernoulli'ego. Potem ile dzieci, tyle niezależnych prób.

[qwass]

Mógłbys wyjaśnic na czym polega dwuetapowośc pierwszego zdarzenia?

[szw1710]

Może Cię nakieruję: przekazać wirusa mogą tylko rodzice będący nosicielami. Nieprawdaż? Oczywiście mogą też nie przekazać, ale rodzice niezarażeni na pewno nie przekażą.

[qwass]

To rozumiem i z tego wynika, że najpierw zdarzenie czy są nosicielami (0,7) czy nie (0,3), prawda? No a potem Bernoulli? Jeśli tak, to gdzie robię błąd?

[szw1710]

Już tutaj. W ustaleniu prawdopodobieństwa zarażenia tylko jednego dziecka (nie na 4, tylko na 1), nie uwzględniasz prawdopodobieństwa przekazania wirusa przez rodziców. To jest ten drugi etap. Narysuj drzewo.

Dopiero potem stosujesz schemat Bernoulli'ego.

[qwass]

Czy mógłbym Cię prosic o pełne rozwiązanie od początku do końca? Łatwiej mi będzie zrozumiec analizując rozumowanie krok po kroku, jako że sam nie potrafię tego wymyslic...

[szw1710]

Odpuść do jutra. Dziś zmęczony jesteś. Ranek jest mądrzejszy od wieczora.

Z reguły gotowców nie daję

[qwass]

Ja z reguły o nie nie proszę, ale to zadanie mnie męczy już od dzisiejszego poranku

[__Cichy__]

Te wyniki, które podałeś są dziwne, gdyż

\(\displaystyle{ {4 \choose 4}( \frac{3}{4} )^4=0,3164}\)
oraz
\(\displaystyle{ {4 \choose 4}( \frac{1}{4} )^4=0,0039}\).

Wynika z nich, że nie uwzględnia się w ogóle informacji czy małżeństwo jest zdrowe czy zarażone.

Wg mnie rozwiązanie powinno wyglądać tak:

Niech \(\displaystyle{ A_{1}}\) - zdarzenie, że małżeństwo z HIV, \(\displaystyle{ A_{2}}\)- zdarzenie, że małżeństwo zdrowe.
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, że wszystkie dzieci będą zdrowe.

I teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

\(\displaystyle{ P(B) = P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1}) + P(B|A_{2}) \cdot P(A_{2}).}\)

Wiadomo, że \(\displaystyle{ P(A_{1})=0,7}\) oraz \(\displaystyle{ P(A_{2})=0,3}\).

Ponadto, \(\displaystyle{ P(B|A_{2})=1}\).

\(\displaystyle{ P(B|A_{1})}\) liczysz ze schematu Bernouliego (przyjmując za prawdopodobieństwo sukcesu \(\displaystyle{ p= \frac{1}{4}}\)).

[szw1710]

__Cichy__, Twoja metodologia jest dobra - bierzemy pod uwagę dzieci jednego małżeństwa.

[norwimaj]

Wiedząc, że szansa przekazania przez rodzicow wirusa dziecku wynosi 3:4,

Ten fragment treści można interpretować na \(\displaystyle{ 2\cdot2=4}\) sposoby, z czego \(\displaystyle{ 3}\) nierównoważne.

Po pierwsze, słowo "szansa" bywa rozumiane na dwa sposoby. Jeden sposób, że szansa zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) jest równa \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)}\), a drugi, że \(\displaystyle{ \frac{\mathbb{P}(A)}{1-\mathbb{P}(A)}}\).

Po drugie, może tu chodzić o prawdopodobieństwo warunkowe albo prawdopodobieństwo dla losowo wybranej pary (niekoniecznie zarażonej).

A w odpowiedziach są odpowiednio wyniki 0,3164 i 0,0039.

Jednak takie wyniki chyba są niepoprawne w każdej możliwej interpretacji.-- 4 cze 2012, o 12:43 --Jedna z tych interpretacji w ogóle jest sprzeczna, bo \(\displaystyle{ 0,{7}<0{,}75}\).