Wartość oczekiwana zmiennej dyskretnej

[be-girl222]

Włamywacz ma kluczy, z których dokładnie jeden jest kluczem właściwym. Wybiera on klucze losowo i nie pamięta, które z nich były już próbowane. Oblicz średnią ilość prób potrzebną do otwarcia drzwi.


Więc robię to zadanie w następujący sposób:

X - ilość prób potrzebna do otwarcia drzwi.

\(\displaystyle{ P \left( X=k \right) = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right) ^{k-1}}\).

Zatem X ma rozkład dyskretny, liczymy
\(\displaystyle{ EX= \sum_{i=1}^{\infty} x_i \cdot p_i = \sum_{i=1}^{\infty} i \cdot \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right) ^{i-1} = \frac{1}{n} \cdot \left( \sum_{i=1}^{\infty} x^i \right) ' = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{x}{1-x} \right) ' = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{ \left( 1-x \right) ^2} = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n}\)
Stosuję w pewnym momencie podstawienie \(\displaystyle{ x= \frac{n-1}{n}}\), następnie całkuję szereg i różniczkuję sumę.

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Proszę o weryfikację.

[Qń]

Jest ok.

Q.