Twierdzenia bayesa i prawdopodobieństwo choroby

[chrucik]

Aby stwierdzić ze pacjent ma chorobę wieńcową poddaj sie go próbie wysiłkowej, której czułośc wynosi 65% a swoistość 85% oblicz prawdopodobieństwo że:

• próba wysiłkowa doprowadzi do prawidłowej diagnozy
• pacjent z wynikiem dodatnim jest chory
• pacjent z wynikiem ujemnym jest zdrowy

Jeśli 10% populacji ma chorobę wieńcową

Czułość to odsetek chorych u których wynik jest dodatni, a swoistość to odsetek zdrowych u których test daje wynik ujemny.

Teraz moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ A}\)- wynik dodatni \(\displaystyle{ P_{(A)} = 0,65}\)
\(\displaystyle{ B _{1}}\) - osoba chora \(\displaystyle{ P_{(B1)} = 0,1}\)
\(\displaystyle{ B _{2}}\) - osoba zdrowa \(\displaystyle{ P_{(B2)} = 0,9}\)

Co dalej muszę wyznaczyć i w jaki sposób ?

[Qń]

Oznaczmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ Z}\) - pacjent jest zdrowy
\(\displaystyle{ C}\) - pacjent jest chory.
\(\displaystyle{ A}\) - test dał wynik pozytywny
\(\displaystyle{ D}\) - diagnoza jest dobra.

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ P(C)=0,1\\
P(Z)=0,9\\
P(A|C)=0,65\\
P(A'|Z)=0,85\\
P(A|Z)=1 - P(A'|Z)=1-0,85=0,15}\)

Chcemy zaś policzyć:
\(\displaystyle{ P(D)= P(D|Z)\cdot P(Z) + P(D|C)\cdot P(C)=P(A'|Z)\cdot P(Z)+P(A|C)\cdot P(C)\\
P(C|A)\\
P(Z|A')}\)
W pierwszym wypadku wystarczy podstawić dane, w dwóch pozostałych wystarczy użyć wzoru Bayesa i podstawić dane.

Q.

[chrucik]

\(\displaystyle{ \\ P(C|A)= \frac{\\P(A|C) \cdot \\P(C)}{\\P(A)}}\)
Niestety nie wiem jak dalej rozwinąć mianownik

[Qń]

Nie musisz wyprowadzać wzoru Bayesa, wystarczy, że go użyjesz:


Q.

[chrucik]

\(\displaystyle{ \\ P(C|A)= \frac{\\P(A|C) \cdot \\P(C)}{\\P(A|C) \cdot \\P(C)+\\P(A|Z) \cdot \\P(Z)}}\)

corect ?

[Qń]

Zgadza się.

Q.