Waga śliwek

[Forte]

Waga pewnej odmiany śliwek jest zmienną losową o średniej \(\displaystyle{ 56}\)g i odchyleniu \(\displaystyle{ 8,5}\)g
Śliwki są pakowane po\(\displaystyle{ 20}\) sztuk. Jakie prawdopodobieństwo, że
a) średnia waga śliwek w opakowaniu będzie mniejsza niż \(\displaystyle{ 53,5}\)g
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ X -}\)zmienna losowa, waga jednej paczki śliwek
\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(1120;170)}\)
\(\displaystyle{ P(X<53,5\cdot 20)=P(X<1070)=P\left(\frac{X-1120}{170}<\farc{1070-1120}{170}\right)=\Phi(-0,29)=1-\Phi(0,29)=1-0,614=0,386}\)
b)łączna waga śliwek zmieści się w przedziale \(\displaystyle{ (990,1010)}\)g
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(990<X<1010)=P\left(\frac{990-1120}{170}<\frac{X-1120}{170}<\frac{1010-1120}{170}\right)=\Phi(-0,65)-\Phi(-0,76)=1-\Phi(0,65)-(1-\Phi(0,76)=1-0,7422-1+0,7764=0,03}\)
c) jeśli losowo wybierzemy dwie śliwki, jedna będzie ważyła mniej niż \(\displaystyle{ 48}\)g a druga więcej niż \(\displaystyle{ 60}\)g
Rozwiązanie:
Ponieważ losowania są niezależne to szukane prawdopodobieństwo jest iloczynem prawdodbieństw
\(\displaystyle{ Y -}\) zmienna losowa, waga jednej śliwki \(\displaystyle{ N(56;8,5)}\)
\(\displaystyle{ P(Y<48)=P\left( \frac{Y-56}{8,5}<\frac{48-56}{8,5}\right)=\Phi(-0,94)=1-\Phi(0,94)=1-0,8264= 0,1736}\)
\(\displaystyle{ P(Y>60)=P\left( \frac{Y-56}{8,5}>\frac{60-56}{8,5}\right)=1-\Phi(0,47)=1-0,6808=0,3192}\)
Zatem skoro mają zachodzić jednocześnie to \(\displaystyle{ 2\cdot 0,1736\cdot 0,3192\approx0,1182}\)

[Jacek_Karwatka]

Piękne i klarowne rozwiązanie
mam tylko dwie uwagi. Obie do punktu c.
Liczysz \(\displaystyle{ P(Y<48) \wedge P(Y<60)}\) tymczasem w treści jest:
"jedna będzie ważyła mniej niż 48g a druga więcej niż 60g"
powinno być \(\displaystyle{ P(Y<48) \wedge P(Y>60)}\)

Druga kwestia jest bardziej subtelna. Liczysz prawdopodobieństwo zdarzenia że pierwsza śliwka jest lżejsza niż 48g a druga cięższa niż 60g. Tymczasem pytanie dotyczy "jedna (z nich) waży mniej niż 48g, a druga więcej". Takie zdarzenie może zajść na dwa sposoby:
1. Pierwsza śliwka waży mniej niż 48g a druga wazy więcej niż 60 g
2. Pierwsza śliwka waży więcej niż 60g a druga wazy mniej niż 48 g
Oczywiście łączne prawdopodobieństwo w obu przypadkach jest takie samo. Otrzymany wynik należy pomnożyć przez dwa.