czas pracy akumulatora

[Forte]

Gwarancja na akumulatory \(\displaystyle{ Y}\) jest udzielana na \(\displaystyle{ 36}\) miesięcy. Dzięki badaniom wiemy, że
czas, życia tych urządzeń ma rozkład normalny o średniej \(\displaystyle{ 44}\) miesiące i odchyleniu standardowemu \(\displaystyle{ 6}\) miesięcy
a) jaki procent wyrobów jest reklamowany.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ Y}\)-zmienna losowa, która wyraża żywotność akumulatora w miesiącach o rozkładzie
\(\displaystyle{ N(44,6)}\)
\(\displaystyle{ X=\frac{Y-44}{6}}\)-zmienna losowa, która wyraża żywotność akumulatora w miesiącach o rozkładzie
\(\displaystyle{ N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ P(Y<36)=P\left(X<\frac{36-44}{6}\right)=\Phi(-1,3333)=1-\Phi(1,3333)=1-0,90658=0,09342}\)
czyli ok \(\displaystyle{ 9,3\%}\) jest reklamowane
b)Jak długi powinien być okres gwarancji, aby nie więcej, niż \(\displaystyle{ 3\%}\) akumulatorów było reklamowane
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ m}\)-ilość miesięcy pracy bez awarii
\(\displaystyle{ 0,03=P(Y<m)=P\left(X<\frac{m-44}{6}\right)=\Phi(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x=\frac{m-44}{6}}\)
ponieważ nie ma wartości \(\displaystyle{ 0,03}\) w tablicach to odczytuje \(\displaystyle{ \Phi(x')=0,97 \Rightarrow x'=1,87}\) stąd \(\displaystyle{ x=-1,87}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{m-44}{6}=-1,87}\)
\(\displaystyle{ m-44=-1,87\cdot 6=-11,22}\)
\(\displaystyle{ m=32,78}\)
Do \(\displaystyle{ 32}\) miesiąca oddany do naprawy będzie mniej niż \(\displaystyle{ 3\%}\) kalkulatorów.
c) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kupiony przez nas akumulator będzie funkcjonował ponad \(\displaystyle{ 5}\) lat ?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(Y>60)=1-P\left(X\leq\frac{60-44}{6}\right)=1-\Phi(2,6666)=1-0,996=0,004}\)