Rozkład Poissona - prawdopodobieńśtwo warunkowe

[Fixus]

Witam,
mam takie o to zadanie
Zmienna losowa Y ma rozkład Poissona, w którym \(\displaystyle{ P(Y = 0) = \frac{1}{ e^{3} }}\) . Oblicz:
a) \(\displaystyle{ P(Y > 3 | Y > 2)}\)
b) \(\displaystyle{ FY (2)}\)
c) drugi moment Y

Kilka pytań

a) Jakbym nie robił prawdopodobieństwo wychodzi ponad 1, a prawdopodobieństwo nie może przecież przekroczyć 1. Robię to tak, że
\(\displaystyle{ P(Y > 3 | Y > 2) = \frac{P(Y > 3)}{P(Y > 2)}}\)
Robię tak dlatego, że \(\displaystyle{ Y > 3}\) jest częścią wspólną dla \(\displaystyle{ Y > 3}\) i \(\displaystyle{ Y > 2}\). Przynajmniej tak mi się wydaje. Przez co w liczniku dostaję liczbę większą od mianownika i p-stwo wychodzi mi ponad 1. Co tu robię źle ?

b) nie wiem jak to obliczyć:/

// edit
czy w punkcie b wystarczy zrobić coś takiego ?

Obliczam \(\displaystyle{ P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2)}\)
powiedzmy, że wychodzi (dla przykładu) to kolejno, \(\displaystyle{ 0.1, 0.2, 0.3}\)
Wtedy dystrybuanta \(\displaystyle{ F(2) = 0.1+0.2+0.3 = 0.6}\)
Czy to prawidłowa metoda ?

[lukaszm89]

a)Jest ok, \(\displaystyle{ P(Y>2)\geq P(Y>3)}\), coś musisz źle liczyć.
b)Tak, chociaż dla tego przykłądu wyjdą inne wartości.
c)Jaki jest parametr tego rozkładu? Rozkłady Poissona to jednoparametrowa rodzina rozkładów.

[Fixus]

Hmm faktycznie \(\displaystyle{ P(Y > 2)}\) powinno być większe. Zaraz policzę jeszcze raz

Tak, wiem, że wyjdą inne wartości w 'b'. Dałem tylko dla pokazania metody o jakiej myśle

Co do parametru w zadaniu jest \(\displaystyle{ P(Y = 0) = \frac{1}{ e^{3} }}\)
Jeśli się nie mylę to z tego można wywnioskować, że \(\displaystyle{ \lambda = 3}\). Czy to się zgadza ?

[lukaszm89]

tak

[Fixus]

rozumiem, że drugi moment obliczę na zasadzie

\(\displaystyle{ e^{\lambda*( e^{2} -1 })}\)

??

i jeszce jedno pytanie
Co do punktu 'a'

Faktycznie zapomniałem zauważyć, że \(\displaystyle{ P(X > 3)}\) tak naprawdę równa się \(\displaystyle{ P(X \le 3)}\)
jednak teraz wychodzi mi ujemna wartość o.O To chyba nie za dobrze ?

-- 2 cze 2012, o 11:41 --

Nareszcie mi się udało. Jak się 40 razy rozwiązuje to samo zadania to się człowiek myli

\(\displaystyle{ P(X > 3 | X > 2) = 0.608}\)

Czy moja propozycja liczenia drugiego momentu jest prawidłowa ?

[lukaszm89]

Nie!:)
Jeśli nie pamiętasz, to różniczkujesz funkcję generującą momenty 2 razy po t i bierzesz pochodną w punkcie 0, tj \(\displaystyle{ MGF_X(t)=e^{\lambda \left( e^t-1\right) }}\). powinno wyjść \(\displaystyle{ \lambda^2+\lambda}\)

[Fixus]

Hmm ja byłem pewien, że właśnie funkcja generująca moment wylicza mi moment po podstawieniu parametrów.
Skoro to jest różniczkowanie to dziwne, że nie mogę znaleźć nigdzie listy kilku funkcji momentu dla rozkłądu poissona

[lukaszm89]

Tak, wylicza. \(\displaystyle{ k-ty}\) moment zwykły to \(\displaystyle{ k-ta}\) pochodna funkcji generującej momenty w punkcie \(\displaystyle{ 0}\)