Ciągła zmienna losowa - wyznaczanie dystrybuanty

[Fixus]

Witam, mam zadanie
Dana jest ciagła zmienna losowa X o gestosci:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1, x \in \left\langle -\frac 12, 0 \right) \\ x, x \in \left\langle 0,1 \right\rangle \\ 0, w p.p \end{cases}}\)
Znajdź \(\displaystyle{ E(X), V(X)}\), dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x)}\) (wzór analityczny)

Czy dobrze rozumuje ?
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{- \frac{1}{2}}^{0}x \cdot 1dx + \int_{0}^{1}x \cdot x dx}\)

Jeśli to jest dobrze to przy \(\displaystyle{ V(X)}\) zamieniam \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ x^{2}}\)

Jak wyznaczyć dystrybuante ?

[lukaszm89]

Jeśli przez \(\displaystyle{ V(X)}\) rozumiesz wariancję to nie.
Liczysz \(\displaystyle{ E\left( X^2\right)}\), czyli jak powiedziałeś "zamieniasz w całce x na x^2".
\(\displaystyle{ V(X)=E\left( X^2\right)-\left( EX\right)^2}\).
Dystrybuanta
\(\displaystyle{ F_X(t)= \int_{-\infty}^{t}f(x)dx}\)dla rozkładów ciągłych.

[Fixus]

Tak, rozumiem przez to wariancję

Czy \(\displaystyle{ E(X)}\) prawidłowo liczę ?

Czyli zbytnio uprościłem ? A konkretnie zapomniałem, że obliczenie całki a konkretnie sumy całek dla \(\displaystyle{ X^{2}}\) to połowa bo trzeba jeszcze od tego odjąć kwadrat wartości oczekiwanej. Czy tak ?

Co do dystrybuanty to czy liczę tą całkę dla dwóch przedziałów osobno czyli:
\(\displaystyle{ \int_{- \frac{1}{2} }^{x} 1dx = x +\frac{1}{2}}\)
a druga
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} xdx = \frac{x^{2}}{2}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} x +\frac{1}{2} dla x \in \left\langle -1/2, 0 \right \\ \frac{x^{2}}{2} dla x \in \left\langle 0,1 \right\rangle \\ 0 w p.p \end{cases}}\)

na wykresie wygląda ona trochę dziwnie

[lukaszm89]

Tak, EX prawidłowo.
Dystrybuantę-źle.
Ustalmy, że liczym w punkcie t.
Gdy \(\displaystyle{ t<-\frac{1}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ F_X(t)= 0}\)
Gdy \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\leq t<0}\) mamy \(\displaystyle{ F_X(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx= \int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}f(x)dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{t}f(x)dx=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}0dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{t}1dx=...}\)
I tak dalej, potem przypadek, że \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\) i na koniec \(\displaystyle{ t>1}\)

[Fixus]

No, ale przecież przykład na przedziale \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\leq t<0}\) który przedstawiłeś da dokładnie to co wyliczyłem czyli \(\displaystyle{ x + \frac{1}{2}}\)

Dystrybuanta (nawet w tym przypadku) dla \(\displaystyle{ t > 1}\) wynosi 1. Nawet w tym przypadku mimo, że wartość f(x) jest równa 0. Czy tak ?

[lukaszm89]

A policz dla \(\displaystyle{ t\in\left[ 0,1\right]}\) rozbijając na trzy przedziały-\(\displaystyle{ \left( -\infty, -\frac{1}{2}\right),\ \left[-\frac{1}{2},0 \right),\ \left[ 0,t\right]}\)

[Fixus]

Wybacz, ale nie kumam.
Może powiem Ci jak ja to rozumiem bo nie nadążam za tobą :/

Rozbiłem to na 4 przedziały
\(\displaystyle{ \begin{cases} x < -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \le x < 0 \\ 0 \le x \le 1 \\ x > 1 \end{cases}}\)

przy \(\displaystyle{ x < -\frac{1}{2}}\) dystrybuanta będzie 0
przy \(\displaystyle{ x > 1}\) dystrybuanta będzie 1
dla \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \le x < 0}\) dystrbunate wyliczę przez całkę \(\displaystyle{ \int_{-\frac{1}{2}}^{t}1dx}\)
dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) dystrybuantę wyliczę przez całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}xdx}\)

Jeśli to jest złe rozumowanie to bardzo proszę wyjaśnij mi co źle robię

[lukaszm89]

Masz policzyć całkę od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ t}\). \(\displaystyle{ Gdy 0<t<1}\), to musisz, poza przedziałem \(\displaystyle{ \left[ 0,t\right]}\) uwazględnić jeszcze przedział \(\displaystyle{ \left( -\infty,0\right)}\) i całkować po nim \(\displaystyle{ F_X(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx= \int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}f(x)dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}f(x)dx+\int_0^tf(x)dx}\)

[Fixus]

Ok zaczynam chyba rozumieć
Generalnie dystrybunta dla każdego przedziału liczę jako sumę całek z każdego poprzedniego przedziału plus szukany. Przepraszam za kolokwialny opis, ale to rozumiem i wydaję mi się ok.

Ostatnie pytanie.
Dla przedziału \(\displaystyle{ x > 1}\) dystrybuanta przyjmuje wartość 1 ? bo wtedy zaczyna to nabierać jakiegoś kształtu znajomego

[lukaszm89]

Tak, bo wtedy masz całą gęstość "za sobą". Zresztą, to też wyjdzie Ci z obliczeń