Rozkład Poissona dla bardzo dużego lambda

[Fixus]

Witam, zadanie:
Liczba awarii w firmie telekomunikacyjnej ma rozkład Poissona. Srednio miesiecznie odnotowuje
sie n awarii. Oblicz prawdopodobienstwo, ze w danym miesiacu
a) zdarza sie co najmniej 3 awarie - w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n = 5}\);
b) zdarzy sie dokładnie 700 awarii - gdy \(\displaystyle{ n = 1200}\);
c) zdarzy sie co najwyzej 700 awarii - dla \(\displaystyle{ n = 1200}\).

Podpunkt a to pryszcz

Niszczy mnie podpunkt b i c
Otóż wartości są duże więc na piechotę nie policzę.
W związku z tym chciałem skorzystać z założenia, że rozkład normalny dla \(\displaystyle{ M(\lambda, \sqrt{\lambda})}\) jest w przybliżeniu równy rozkładowi Poissona. Jednak też wychodzi kosmos:

Normalizuje to tak:
\(\displaystyle{ \frac{700 - 1200}{ \sqrt{1200} } = \frac{-500}{34.64} = -14.43}\)

\(\displaystyle{ \Phi}\) dla \(\displaystyle{ x > 3}\) w przybliżeniu równa się \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ \Phi}\) dla ujemnej równa się \(\displaystyle{ 1 - \Phi (x)}\) więc wychodziłoby \(\displaystyle{ 0}\) w obu przypadkach. Co źle robie ?

// edit
pytanie dodatkowe
Czy zmieniając rząd wielkości, ale zachowując stosunek liczb (p-stwo) mogę to uprościć ? Zamiast \(\displaystyle{ k = 700}\) i \(\displaystyle{ \lambda = 1200}\) przyjąć , że \(\displaystyle{ k = 7}\) a \(\displaystyle{ \lambda = 12}\)
Wtedy \(\displaystyle{ P(X = 7) = 0.22}\) dla\(\displaystyle{ \lambda = 12}\)
Czy mogę przyjąć, że \(\displaystyle{ P(X = 700) = 0.22}\) dla \(\displaystyle{ \lambda =1200}\) ?

[Jacek_Karwatka]

Ja nie widzę błędu. Przy oczekiwanej liczbie sukcesów 1200 wynik na poziomie 700 bardzo odbiega od prognozy a jego prawdopodobieństwo jest bliskie 0.

Nie można stosować "skracania" o rząd wielkości. Ze zmianą rzędu wielkości zmieni się stosunek odchylenia standardowego do wielkości błędu. Biorąc Twój przykład mamy teraz \(\displaystyle{ var= \sqrt{12} \approx 3.46}\). Błąd znormalizowany \(\displaystyle{ \frac{7-12}{ \sqrt{12} } \approx -1.44}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) odchylenia standardowego co jest w granicach rozsądku.