funkcja charakterystyczna

[exupery]

Wyznaczyć funkcje charakterystyczną zmiennej losowej X dla której \(\displaystyle{ P(X \in A)=\frac{1}{2} ind_A(0)+\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} ind_A(x)dx}\) gdzie przez \(\displaystyle{ ind_A}\)- rozumiem indykator zbioru A

[lukaszm89]

Jaka to jest zmienna losowa? Tzn jaki typ-dyskretna, ciągła, mieszana?

Edit:\(\displaystyle{ F_X(t)= \frac{1}{2}F_Y(t) + \frac{1}{2}F_U(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(Y=0)=1}\) oraz \(\displaystyle{ U\sim\mathcal{U}(-1,1)}\).
Mam nadzieję, że to wystarczy.
Jak do tego dojść-weź za A półproste \(\displaystyle{ (-\infty, t]}\), w ten sposób dostaniesz dystrybuantę.

[exupery]

no spoko, ale co z niezależnością? czy proponujesz teraz pocisnąć z tożsamości Parsevala?

[lukaszm89]

\(\displaystyle{ \phi_X(t)=\mathbb{E}(e^{itX})= \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF(x)= \frac{1}{2}\cdot 1+ \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} e^{itx}dx \\
=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \frac{e^{it}-e^{-it}}{2it}}\)
Tu nie ma haczyków. To wyżej było żebyś zobaczył jakiego typu to zmienna losowa i jak policzyć wartość oczekwianą.

[exupery]

Czyli jak mam zmienna mieszana to po prostu osobno liczę dla ciągłego i osobno dla dyskretnego ?

[lukaszm89]

Wartość oczekiwana to całka względem dystrybuanty-całka Stieltjesa. dystrybuanta ma skoki, więc zamieniasz na sumę skoków pomnożoną przez realizację i całki z x pomnożonej przez pochodną tam, gdzie pochodna istnieje. Nie mam książki przy sobie, ale wydaje mi się że Jakubowski i Sztencel to ładnie opisali.

[Kejty]

Mam zadanie, gdzie właśnie na podstawie funkcji charakterystycznej z tak zadanego rozkładu trzeba policzyć wartość oczekiwaną E(X).
I nie za bardzo wiem jak, bo intuicyjnie to widać że E(X) = 0, ale jak wyznaczyć to z funkcji charakterystycznej ?