Prawdopodobieństwo Poissona i rozkłady zmiennych

[aniusia0712]

Proszę o pomoc przy którymś z tych zadań bo zupełnie nie wiem jak za nie się wziąć.

2)Pierwszy gracz ma trzy jednakowe monety, drugi dwie. rzucają oni swoimi monetami. Wygrywa i dostaje wszystkie monety przeciwnika ten z graczy, który wyrzuci więcej orłów. W przypadku gdy liczby wyrzuconych orłów są równe, gra jest kontynuowana, dopóki jeden z graczy nie wygra. Jaka jest wartość oczekiwana wygranej dla każdego z graczy?

3)Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda >0\left( X \in P\left( \lambda\right) \right)}\) . Jaka jest najbardziej prawdopodobna wartość \(\displaystyle{ X}\)?

4)Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą zmiennymi losowymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Pokazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ s,t \in R}\) zachodzi
\(\displaystyle{ P \left( X+Y \le s+t \right) \le P \left( \max \left( X,Y \right) \le s \right) +P \left( \min \left( X,Y \right) \le t \right)}\)

[miodzio1988]

Godzinke tylko mamy? ;]

Zmienne losowe są nam potrzebne. Jakie mamy w pierwszym zadaniu?

[Forte]

jest nierówność która pozwoli wyznaczyć najbardziej prawdopodobną wartość zmiennej losowej. ja jej nie pamiętam, ale mogę trochę pomóc w rozumowaniu.

zmienna losowa przyjmuje wartość
\(\displaystyle{ X=0}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_o=\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}}\)

\(\displaystyle{ X=1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_1=\frac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}}\)

\(\displaystyle{ X=2}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_2=\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^2} {2}e^{-\lambda}}\)

\(\displaystyle{ X=3}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_3=\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^3} {6}e^{-\lambda}}\)

itd

aby znaleźć najbardziej prawdopodobną wartość szukamy największej wartości wyrażenia

dla przykładu \(\displaystyle{ \lambda=5}\)

wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{5^k}{k!}}\) przyjmuje wartości
\(\displaystyle{ \frac{5^1}{1!}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5^2}{2!}=\frac{5^2}{1\cdot 2}=\frac{5}{1}\cdot \frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5^3}{3!}=\frac{5^3}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{5^2}{1\cdot 2}\cdot \frac{5}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5^4}{4!}=\frac{5^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{5^3}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5^5}{5!}=\frac{5^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\frac{5^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \frac{5}{5}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5^6}{6!}=\frac{5^6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\frac{5^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\cdot \frac{5}{6}}\)

najpierw szybciej rośnie licznik a później mianownik, zrównanie następuje dla \(\displaystyle{ k=5}\)

teraz uogólnimy:
w wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{\lambda^k}{k!}}\)

licznik rośnie szybciej gdy \(\displaystyle{ k<\lambda}\)
licznik rośnie wolniej gdy \(\displaystyle{ k>\lambda}\)
gdy \(\displaystyle{ k=\lambda}\) licznik i mianownik wzrósł tyle samo razy

najbardziej prawdopodobne jest uzyskanie wartości \(\displaystyle{ X=\lambda}\) jeżeli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest całkowite oraz część cechę z \(\displaystyle{ \lambda}\), gdy \(\displaystyle{ \lambda}\) nie jest całkowitą

[brzoskwinka1]

4)\(\displaystyle{ \{\omega \in \Omega : X(\omega ) +Y(\omega ) <s+t\} \subseteq \{\omega \in \Omega :\max\{X(\omega ) ,Y(\omega )\} \le s\} \cup \{\omega \in \Omega :\min\{X(\omega ) ,Y(\omega )\} \le t\}}\)