rozkład różnicy zmiennych losowych

KasienkaG · Post autor: **KasienkaG** » 30 maja 2012, o 14:14

Mam rozkład \(\displaystyle{ \left( X,Y\right)}\) o gęstości \(\displaystyle{ f _{\left( X,Y\right) } \left( x,y\right)= \begin{cases} \frac{3}{5}\left( x+y\right)\left( y-1\right), \left(x,y \right) \in \left[ -1,1\right] \times \left[ 1,2\right] \\ 0, \left(x,y \right) \not \in \left[ -1,1\right] \times \left[ 1,2\right] \end{cases}}\)

Czy ktoś krok po kroku mógłby mi wyjaśnić w jaki sposób należy szukać takiego rozkładu???

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 maja 2012, o 16:14

Dobrze przepisałaś przykład? Bo na razie to całka z gęstości nie równa się 1.

KasienkaG · Post autor: **KasienkaG** » 30 maja 2012, o 20:57

juz poprawione

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 maja 2012, o 22:02

Rozumem, że szukasz rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X-Y}\)? Szukamy dystrybuanty tego rozkładu, czyli funkcji \(\displaystyle{ F(t)=P(X-Y<t)}\). Jak łatwo się domyślić jest to całka z gęstości, pytanie jaka? Ano skoro ma zachodzić \(\displaystyle{ X-Y<t}\) to całkujemy po obszarze, dla którego zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x-y<t}\), czyli
\(\displaystyle{ F(t)=P(X-Y<t)=\iint\limits_{x-y<t} f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
pozostaje policzyć tę całkę, a w tym celu najlepiej narysować sobie po jakim obszarze będziemy całkować w zależności od \(\displaystyle{ t}\)

KasienkaG · Post autor: **KasienkaG** » 31 maja 2012, o 08:56

no tak, ale jak mam sobie wyznaczyć ten obszar?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 maja 2012, o 12:45

Rysunkiem np? Jak wygląda zbiór \(\displaystyle{ x-y<t}\) (\(\displaystyle{ t}\) ustalone) na płaszczyźnie?

KasienkaG · Post autor: **KasienkaG** » 31 maja 2012, o 13:08

to będą płaszczyzny ograniczone prostymi, tak?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 maja 2012, o 13:17

Półpłaszczyzny. Plus jeszcze pamiętaj o tym, że masz niezerową gęstość tylko na pewnym prostokącie, więc całkować będziesz po części wspólnej tego prostokąta i półpłaszczyzn (bo po co po reszcie obszaru ). No i teraz musisz się zastanowić jak mogą wyglądać części wspólne tego prostokąta i jakiejś półpłaszczyzny.

KasienkaG · Post autor: **KasienkaG** » 31 maja 2012, o 14:55

no to ich wygląd już będzie w zależności od tego jak prosta będzie przechodzić przez prostokąt, wiem o co chodzi, ale nie mam pojęcia jak to bez rysunku wyjaśnić, ale jak już dotąd doszliśmy to teraz muszę to całkować raz po x raz po y, w jaki sposób wyznaczyć granice całkowania?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 maja 2012, o 18:21

ale nie mam pojęcia jak to bez rysunku wyjaśnić,

A co, rysunek zły? Ogólnie dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) całkujesz po zbiorze \(\displaystyle{ \{(x,y): x-y<t\}}\), a biorąc pod uwagę, że gęstość jest niezerowa też na określonym obszarze, to całkujesz po zbiorze \(\displaystyle{ \{(x,y): x-y<t \wedge (x,y)\in[-1,1]\times[1,2]\}}\)

w jaki sposób wyznaczyć granice całkowania?

Najlepiej patrząc na rysunek są 3 możliwości (w zasadzie to 5, ale 2 są skrajne: częścią wspólną płaszczyzny i prostokąta jest albo zbiór pusty albo cały prostokąt): częścią wspólną prostokąta i półpłaszczyzny opisującej równanie może być:
a) trójkąt
b) trapez
c) prostokąt bez trójkąta (pięciokąt taki )
I dla każdego z tych przypadków granice całkowania trzeba będzie osobno wyznaczyć.