prawdopodobienstwo - zdarzenia losowe, prawd. warunkowe

[NIKAA]

Zdarzenia losowe A1 i A2 wykluczają się i dają łącznie zdarzenie pewne. Wiadomo, że B jest zdarzeniem losowym spełniającym warunki: P = 5/16, P[B|A1] = 1/3 i P[B|A2] = 1/4. Wówczas zawsze
a) P[A2*B] = 0,125
b) P[A1|b] = 0,8
c) P[A1] = 3/4

[Yavien]

P(A1)+P(A2)=1 oraz P(A1 i A2)=0 (zdarzenia przeciwne)

zatem
P(B i A1) + P(B i A2) = P(B) = 5/16
jesli P(A1) = x
P(A2) = 1-P(A1) = 1-x

wzor na prawdopodobienstwo warunkowe:
P(B|A1)= P(B i A1)/P(A1) = 1/3
stad P(B i A1) = 1/3 *x
analogicznie
P(B|A2)= P(B i A2)/P(A2) = 1/4
stad P(B i A2) = 1/4 *(1-x)

I w końcu możemy sobie powyliczać to co trzeba:
5/16 = x/3 +1/4 - x/4
co w koncu daje nam: x = 12/16 = 3/4 = P(A1)

P(A2 i B) = 1/4 * 1/4 = 1/16

P(A1|B) = 1/3 * 3/4 * 16/5 = 4/5 = 0,8